Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 So 01.03.2009 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Es sei [mm] P(\IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der ganz-rationalen Funktionen. Die Abbildung [mm] \alpha: P(\IR)-->P(\IR) [/mm] sei definiert durch
[mm] (\alpha(f))(x)=x^2f''(x)-6xf'(x)+12f(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
a)Bestimmen sie Kern [mm] \alpha [/mm] und Bild [mm] \alpha
[/mm]
b)Folgern sie: [mm] P(\IR)= Kern\alpha \oplus Bild\alpha. [/mm] |
Ok. nun meine frage:
ich hab zuerst überprüft ob sich hier um einen homomorphismus handelt. habe dann bewiesen das [mm] \alpha [/mm] homogen und additiv ist--> [mm] \alpha [/mm] ist ein homomorphismus.
nun meine ich, dass es sich hier sogar um einen endomorphismus handelt, da es sich hierbei um einen homomorphismus in sich selbst handelt (quelle und ziel stimmen überein).
wenn ich jetzt kern und bild bestimmen will...stimmen die dann auch überein?
für den kern müsste ich doch lediglich [mm] (\alpha(f))(x)=0 [/mm] setzen.
und für das bild?
für jede antwort wäre ich dankbar!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Um den kern von [mm] \alpha [/mm] zu bestimmen mußt Du alle Polynome f bestimmen mit
(*) $x^2f'' -6xf' +12f = 0$
Löse also die Eulersche DGL (*) und fische Dir unter den Lösungen die Polynome heraus.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 02.03.2009 | | Autor: | can19 |
wir hatten leider die eulersche DGL noch nicht behandelt.
Gibt es keine andere möglichkeit Kern und Bild zu bestimmen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Mache den Ansatz
$f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_ix^i$ [/mm] und gehe damit in die Gl.
$ x^2f'' -6xf' +12f = 0 $
ein und bestimme mit Koeffizientenvergleich die Größen [mm] a_i
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 04.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Für $f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kx^k$ [/mm] ist (nachrechnen !)
$ [mm] (\alpha(f))(x)=x^2f''(x)-6xf'(x)+12f(x) [/mm] $ = [mm] $12a_0+6a_1x [/mm] + [mm] \summe_{k=2}^{n}a_k(k-3)(k-4)x^k$ [/mm] = [mm] $12a_0+6a_1x [/mm] + [mm] 2a_2x^2+\summe_{k=5}^{n}a_k(k-3)(k-4)x^k$ [/mm]
Damit sieht man:
1. f [mm] \in [/mm] Kern [mm] \alpha \gdw [/mm] es ex. a,b [mm] \in \IR [/mm] mit: $f(x) = [mm] ax^3+bx^4$
[/mm]
2. Für $g(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n}b_kx^k$ [/mm] gilt:
g [mm] \in [/mm] Bild [mm] \alpha \gdw b_3 [/mm] = [mm] b_4 [/mm] = 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Fr 06.03.2009 | | Autor: | can19 |
vielen lieben dank!!
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