Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Seien U, V Vektorräume und [mm] U_{0}, V_{0} [/mm] Untervektorräume jeweils von U und V. Unter welchen Bedingungen existiert eine lineare Abbildung L : U [mm] \to [/mm] V
mit Kern [mm] L=U_{0} [/mm] und Bild [mm] L=V_{0}? [/mm] Ist eine solche Abbildung eindeutig bestimmt? Definieren sie explizit eine Abbildung mit den gegebenen Eigenschaften. |
Ich verstehe leider nicht genau was hier gemacht werden soll.
Wenn die Vektorräume nicht eindeutig definiert sind, kann es doch beliebige lineare Abbildungen geben, oder nicht?
Und der Kern ist doch immer Untervektorraum von U (also dem Definitionsbereich) und das Bild immer Untervektorraum von V (also dem Wertebereich), wie also sollen mir diese Infos helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Di 26.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Also, ich denke schon, dass es sich um endlich Dimensionale Vektorräume handelt. Aus dem einfachen Grund, dass wir unendlich Dimensionale noch nicht in der Vorlesung hatten. :)
Die Bedingungen wären dann:
[mm] dim(v_{0} \le [/mm] dim U
und für den Kern gilt doch:
kern(f)={f(v)=0 | v [mm] \in U_{0}}
[/mm]
meintest du das so?
Ich weiß nicht, wieviele es dann gäbe... o.o
und [mm] R^3 \to R^3
[/mm]
mit Bild [mm] L=R^2 [/mm] könnte es geben, wenn in der Abbildungsvorschrift beispielsweise die z-ebene wegfällt.
Aber Kern = [mm] R^2 [/mm] bin ich mir nicht sicher...das dürfte eigentlich nicht funktionieren, wenn der Definitionsbereich der [mm] R^3 [/mm] ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Di 26.11.2013 | | Autor: | fred97 |
meili hat Dir geraten, dass Du Dir den Rangsatz mal anschaust.
Sind U und V endlichdimensionale Vektorräume und ist L:U [mm] \to [/mm] V linear, so gilt:
dim V= dim kern(L)+dim Bild(L).
Wenn es nun eine lineare Abb. L mit
kern(L) [mm] =U_0 [/mm] und [mm] bild(L)=V_0 [/mm]
gibt, so muss notwendigerweise für [mm] U_0 [/mm] und [mm] V_0 [/mm] gelten:
(*) dimV=dim [mm] U_0+dim V_0.
[/mm]
Gilt (*) nicht, so gibt es kein solches L.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 26.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, ich hatte da was durcheinander gebracht. Ich dachte der Rangsatz würde Aussagen, dass die Dimension vom Bild kleiner/gleich der Dimension vom Definitionsbereich ist.
Aber ist die Aussage
[mm] dimV=dimU_{0}+dimV_{0}
[/mm]
dann schon ausreichend als Bedingung?
Und die Abbildung ist dann nicht eindeutig bestimmt, lediglich deren Dimensionen. Dann müssen lediglich die Abbildungsvorschriften noch denen für lineare Abbildungen genügen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Di 26.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
und L muss VORGEGEBENE [mm] U_0 [/mm] (und [mm] V_0 [/mm] richtig abbilden!
Gruss leduart
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Rangsatz![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
