Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Denis5 |
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Hallo,
ich weiss nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll ! Die linearität habe ich bewiesen. Aber ich weiss nicht wie ich Kern und Bild bestimmen soll!
zur Aufgabe:
Zeigen Sie, dass Abbildung
f(x,y) = Vektor (x-2y/-y/-2x+y)
linear ist und bestimmen Sie Kern (f) und Bild (f). (Hinweis: Bild (f) ist eine Ebene im R3.)
Für einen Lösungsvorschlag wäre ich sehr dankbar.
Gruss
Denis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
in der Mathebank stehen genaue Anleitungen für deine Fragestellung. Der Kern ist trivial und das Bild mit der Beschreibung ziemlich einfach.
Ist die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung bekannt (dies ist eine m x n -Matrix (bzgl. einer geeigneten Basis A= [mm] a_{ij}), [/mm] für die gilt: [m]f(v)= A * v[/m] für alle [m] v \in V[/m]), so ist das Bild einfach der Span der Spaltenvektoren.
Die Matrix kann man ja leicht ausrechnen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & -1 \\ 2 & 1 }
[/mm]
Daraus folgt das Bild (f): [m]<\vektor{1 \\ 0 \\ 2} \vektor{-2 \\ -1 \\ 1}>[/m]
Der Kern ist [mm] \vektor{0 \\ 0}, [/mm] wenn du für die Matrix ein Gleichungssystem erstellst bekommst du ganz schnell die Lösung, das es nur diese Lösung gibt.
Schau am besten nochmal in der Mathebank vorbei dann siehst du auch ein schönes Beispiel von dem Kern.
MFG
Shaguar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Und nun muss noch gelten: x-2y=0 und -2x+y=0, und für y=0 erhältst du dann x=0.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
