Kern gleich Bild < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V = n-dimensional f:V->V linear mit ker f = im f
Zeige das n gerade sein muss. |
Ich habe mir überlegt, dass es mit der Dimensionsformel zu lösen sei.
Sie lautet ja: dim V = dim(ker f)+dim(im f)
Laut Vorrausetzung ist ker f = im f, daraus folgt dann dim(ker f) = dim(im f), richtig?
Daraus folgt ja unmittelbar das n gerade sein muss oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mi 15.06.2011 | | Autor: | meili |
Hsllo,
> V = n-dimensional f:V->V linear mit ker f = im f
>
> Zeige das n gerade sein muss.
> Ich habe mir überlegt, dass es mit der Dimensionsformel
> zu lösen sei.
>
> Sie lautet ja: dim V = dim(ker f)+dim(im f)
>
> Laut Vorrausetzung ist ker f = im f, daraus folgt dann
> dim(ker f) = dim(im f), richtig?
>
> Daraus folgt ja unmittelbar das n gerade sein muss oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, genau so geht es.
Gruß
meili
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Danke für die Bestätigung. Ich hätte noch eine andere Frage bzgl. Kern und Bild, und zwar folgende:
"V...Vektorraum f:V->V linear und [mm] f^2= [/mm] f [mm] \circ [/mm] f = f. Dann gilt: V = ker f [mm] \oplus [/mm] im f "
Wie genau kann ich das am besten zeigen? Als Tipp steht dort; jedes [mm] v\in [/mm] V lässt darstellen als v = f(v)+(v-f(v)). Das ist natürlich logisch, ich weiß nur nicht wie ich das in den Beweis einbauen kann.
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> Danke für die Bestätigung. Ich hätte noch eine andere
> Frage bzgl. Kern und Bild, und zwar folgende:
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> "V...Vektorraum f:V->V linear und [mm]f^2=[/mm] f [mm]\circ[/mm] f = f. Dann
> gilt: V = ker f [mm]\oplus[/mm] im f "
>
> Wie genau kann ich das am besten zeigen? Als Tipp steht
> dort; jedes [mm]v\in[/mm] V lässt darstellen als v = f(v)+(v-f(v)).
> Das ist natürlich logisch, ich weiß nur nicht wie ich das
> in den Beweis einbauen kann.
Hallo,
auf die angegebene Weise kannst Du jedes Element aus V als Summe eines Elements der Kerns und eines des Bildes schreiben.
Daß f(v) [mm] \in [/mm] Bild f, ist kein Geheimnis, und daß v-f(v) [mm] \in [/mm] Kern f zeigst Du.
Damit hast Du schonmal, daß V die Summe aus Kern und Bild ist.
Fehlt nur noch die Direktheit.
Gruß v. Angela
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Habe erst jetzt Zeit eine Antwort zu schreiben;
Danke schon einmal für deine Mitteilung angela.h.b. v-f(v) muss ja Element vom ker f sein, weil es [mm] v\in [/mm] V gibt, für die gilt v-f(v)=0, nämlich genau dann wenn v=f(v)
Wie kann ich das mit der Direktheit zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Habe erst jetzt Zeit eine Antwort zu schreiben;
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> Danke schon einmal für deine Mitteilung angela.h.b. v-f(v)
> muss ja Element vom ker f sein, weil es [mm]v\in[/mm] V gibt, für
> die gilt v-f(v)=0, nämlich genau dann wenn v=f(v)
Das ist doch Quatsch !
f( v-f(v))= f(v)-f(f(v))=f(v)-f(v)=0
>
> Wie kann ich das mit der Direktheit zeigen?
Sei x [mm] \in [/mm] im f [mm] \cap [/mm] kern f. Dann ist f(x)=0 und es gibt ein y mit x=f(y).
Dann: 0=f(x)=f(f(y))=f(y)=x
FRED
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