Kern einer linearen Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung [mm] \varphi:\IR^3 \rightarrow \IR^2 [/mm] durch [mm] y=\varphi(x)=Ax [/mm] mit
A= [mm] \begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 \\ 3 & 3 & 6\end{pmatrix} \in\IR^{2x3}, x\in\IR^3, y\in\IR^2
[/mm]
a, bestimmen sie den Kern der linearen Abbildung [mm] \varphi
[/mm]
b, Zeigen sie, dass dieser Kern Trägermenge eines Unterraumes des Raumes [mm] \IR^3 [/mm] ist
c, Nun sei [mm] A\in\IR^{mxn}, x\in\IR^n, y\in\IR^m. [/mm] Zeigen sie, dass der Kern jeder linearen Abbildung [mm] y=\varphi(x)=Ax [/mm] Trägermenge eines Unterraumes des Raumes [mm] \IR^n [/mm] ist
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So, da ich leider nicht die Vorlesung besuchen konnte , fällt mir das besonders schwer. Aber soweit ich mich jetzt eingelesen habe , müsste ich doch für a, einfach das homogenen Gleichungssystem lösen, oder ?
wobei dann ein frei wählbarer Parameter darin vorkommt.
x1 = 6x3
x2 = -8x3
kann das sein?
Zu b und c fällt mir momentan nicht viel ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\varphi:\IR^3 \rightarrow \IR^2[/mm]
> durch [mm]y=\varphi(x)=Ax[/mm] mit
>
> A= [mm]\begin{pmatrix} 4 & 2 & -8 \\ 3 & 3 & 6\end{pmatrix} \in\IR^{2x3}, x\in\IR^3, y\in\IR^2[/mm]
>
> a, bestimmen sie den Kern der linearen Abbildung [mm]\varphi[/mm]
> b, Zeigen sie, dass dieser Kern Trägermenge eines
> Unterraumes des Raumes [mm]\IR^3[/mm] ist
> c, Nun sei [mm]A\in\IR^{mxn}, x\in\IR^n, y\in\IR^m.[/mm] Zeigen sie,
> dass der Kern jeder linearen Abbildung [mm]y=\varphi(x)=Ax[/mm]
> Trägermenge eines Unterraumes des Raumes [mm]\IR^n[/mm] ist
>
>
> So, da ich leider nicht die Vorlesung besuchen konnte ,
> fällt mir das besonders schwer. Aber soweit ich mich jetzt
> eingelesen habe , müsste ich doch für a, einfach das
> homogenen Gleichungssystem lösen, oder ?
>
> wobei dann ein frei wählbarer Parameter darin vorkommt.
> x1 = 6x3
> x2 = -8x3
>
> kann das sein?
Ja , also x [mm] \in Kern(\varphi) \gdw [/mm] es ex. ein t [mm] \in \IR [/mm] mit x = [mm] t\vektor{6 \\ -8 \\ 1}
[/mm]
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> Zu b und c fällt mir momentan nicht viel ein.
Der Kern einer linearen Abbildung ist immer ein Unterraum. Vielleicht sollst Du das zeigen ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Mein Problem ist eigentlich , dass ich nicht weis was eine Trägermenge seien soll. Das Skript hab ich leider nicht und eine richtige Definition gibts dazu auch nicht.
Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass [mm] x=t\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] Unterraum des Raumes [mm] \IR^3 [/mm] ist ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Mein Problem ist eigentlich , dass ich nicht weis was eine
> Trägermenge seien soll. Das Skript hab ich leider nicht und
> eine richtige Definition gibts dazu auch nicht.
>
> Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass [mm]x=t\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> Unterraum des Raumes [mm]\IR^3[/mm] ist ??
Nein. Du sollst zeigen : U := { [mm] t\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] : t [mm] \in \IR [/mm] }
ist ein Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Zeige: sind x,y [mm] \in [/mm] U und und t [mm] \in \IR, [/mm] so folgt: x+y, tx [mm] \in [/mm] U.
Die Trägermenge ist ein Begriff der abstrakten Algebra. Mit Trägermenge bezeichnet man die Menge, aus der mit Hilfe einer Menge von Verknüpfungen eine algebraische Struktur gebildet wird.
Ich glaube der Aufgabensteller weiß nicht wovon er spricht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Sorry , versteh ich nicht.
Was soll die Trägermenge sein?
$ [mm] x=t\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ ist also eine menge , aus der mit Hilfe einer Menge von Verknüpfungen eine algebraische Struktur gebildet wird. Hä?
Gibt es dazu keine Definition?
Was kann ich dann mit den Bedingungen des Unterraums anfangen:
0 [mm] \in [/mm] U
für alle x,y [mm] \in [/mm] U auch x+y [mm] \in [/mm] U
[mm] \t \in [/mm] K und alle [mm] x\in [/mm] U auch [mm] t*y\in [/mm] U
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Sorry , versteh ich nicht.
Was soll die Trägermenge sein?
$ [mm] x=t\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ ist also eine menge , aus der mit Hilfe einer Menge von Verknüpfungen eine algebraische Struktur gebildet wird. Hä?
Gibt es dazu keine Definition?
Was kann ich dann mit den Bedingungen des Unterraums anfangen:
0 [mm] \in [/mm] U
für alle x,y [mm] \in [/mm] U auch x+y [mm] \in [/mm] U
t [mm] \in [/mm] K und alle [mm] x\in [/mm] U auch [mm] t*y\in [/mm] U
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vergiss das Wort Trägermenge. Du sollst einfach zeigen, dass die Menge aller Vektoren des Kerns einen Unterraum von [mm] R^3 [/mm] bilden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Tut mir leid, ich steh vollkommen aufm Schlauch.
Wie mach ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bitte lies die posts sorgfältiger. Was du machen musst hat dir fred genau in seinem 2.ten post geschrieben!
Wenn du nicht weisst was ein Unterraum ist, solltest du noch mal nachlesen, das steht in jedem Skript oder Buch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Ich weis nur das der Untervektorraum nicht die Leere Menge beinhalten darf und das der Untervektorraum bezüglich Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sein muss.
Ok.
Nur fällt mir das schwer mit $ [mm] x=t\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
zu beweisen.
mit t [mm] \in \IR [/mm] sollte doch eigentlich die Gültigkeit der Skalarmultiplikation gegeben sein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 17.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja ist so, aber schreib es formal hin! und dann noch die Addition. es ist fast trivial, aber man muss es ja mal eingesehen haben!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 17.12.2008 | | Autor: | marc1001 |
Wenn man weis wie es geht , ist es natürlich leicht einzusehen , aber dafür gibt es ja solch ein Forum.
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