Kern einer lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Lineare Abbildung R4 -> R3 sei gegeben durch die Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 3 & -1 & 2\\ -2 & 0 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 1 }
[/mm]
Berechnen Sie den Kern in Basisdarstellung sowie eine Basis des Bildes |
Ich habe leider in der Mathevorlesung ziemlich geschlafen und hole deswegen gerade meinen Mathestoff nach. Mir fehlt gerade eine einfache Schritt-für-Schritt Erklärung, wie ich an den Kern sowie die Basis des Bildes komme.
Ich bin so weit, dass ich die entsprechende Matrix auf Treppennormalform gebracht habe:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & 1\\ 0 & 6 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 }
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine Lineare Abbildung R4 -> R3 sei gegeben durch die
> Matrix
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & -1 & 2\\ -2 & 0 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Berechnen Sie den Kern in Basisdarstellung sowie eine Basis
> des Bildes
> Ich habe leider in der Mathevorlesung ziemlich geschlafen
> und hole deswegen gerade meinen Mathestoff nach. Mir fehlt
> gerade eine einfache Schritt-für-Schritt Erklärung, wie ich
> an den Kern sowie die Basis des Bildes komme.
>
> Ich bin so weit, dass ich die entsprechende Matrix auf
> Treppennormalform gebracht habe:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & 1\\ 0 & 6 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 }[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo newkrider,
Nun zunächst gilt, dass die [mm] \bold{Spalten} [/mm] der Darstellungsmatrix A das Bild der linearen Abbildung aufspannen, also die lineare Hülle des Bildes sind.
Da [mm] f:\IR^4\rightarrow\IR^3 [/mm] ist, ist das Bild ein Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
dh. [mm] dim(Bild(f))\le dim(\IR^3)=3
[/mm]
Du könntest also die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten(-vektoren) der Matrix bestimmen und hättest damit die Dimesion des Bildraumes und glz. eine Basis desselben.
Was den Kern angeht, so besteht er aus der Menge der Lösungen [mm] A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}, [/mm] also [mm] ker(f)=\{\vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4}| \pmat{ 2 & 3 & -1 & 2\\ -2 & 0 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 1 }\cdot{}\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
Löse also das homogene LGS [mm] \pmat{ 2 & 3 & -1 & 2& | & 0\\ -2 & 0 & 5 & 2 & | & 0\\ 1 & 3 & 1 & 1 & | & 0 }
[/mm]
Dazu kannst du deine in ZSF gebrachte Matrix verwenden.
Wenn du den Kern-Bild-Satz kennst, weißt du nach der Berechnung der Dimension des Bildes schon, welche Dimension der Kern hat
(und umgekehrt)
(Es gilt: [mm] 4=dim(\IR^4)=dim(Bild(f))+dim(Kern(f)))
[/mm]
Hoffe, du kommst damit weiter, kannst ja mal deine Ergebnisse posten, dann können wir drüber schauen 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mo 19.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Ich habe jetzt weiter gearbeitet und einfach mal eine Lösung für das System aufgestellt:
Aus der 3. Gleichung [mm] x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] = 0 habe ich [mm] x_{4} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] gewählt.
Damit ist [mm] x_{3} [/mm] = 4 [mm] \lambda
[/mm]
Damit ist [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-32}{6} [/mm] lambda
Damit ist [mm] x_{1} [/mm] = 0
Ist dann
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ \bruch{-32}{6} \\ 4 \\ 1 }
[/mm]
Basis des Lösungsraumes?
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> Ich habe jetzt weiter gearbeitet und einfach mal eine
> Lösung für das System aufgestellt:
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> Aus der 3. Gleichung [mm]x_{3}[/mm] + [mm]4x_{4}[/mm] = 0 habe ich [mm]x_{4}[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm] gewählt.
> Damit ist [mm]x_{3}[/mm] = 4 [mm]\lambda[/mm]
> Damit ist [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-32}{6}[/mm] lambda
> Damit ist [mm]x_{1}[/mm] = 0
>
> Ist dann
>
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\pmat{ 0 \\ \bruch{-32}{6} \\ 4 \\ 1 }[/mm]
>
> Basis des Lösungsraumes?
Hallo nochmal,
Nein, das wäre - wenn überhaupt - eine Basis des [mm] \bold{Kernes} [/mm] von f
Also wenn deine umgeformte Matrix stimmt, so ist doch mit der letzten Zeile
[mm] x_3+4x_4=0 \Rightarrow x_3=\red{-}4x_4 [/mm]
Mit [mm] x_4=\lambda [/mm] also [mm] x_3=-4\lambda.
[/mm]
Rechne von hier aus mal weiter
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 19.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Hallo,
danke erstmal für deine Hilfe. Ich habe in der Zwischenzeit ein wenig in meinen Unterlagen gekramt und bin auf einen Ansatz mt der transponierten Ausgangsmatrix zur Berechnung des Bildes gestoßen.
Dort habe ich dann folgende Lösung:
< [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} \vektor{0 \\ -6 \\ -3} \vektor{0 \\ 0 \\ -3} [/mm] >
Weiterhin habe ich mit deinem Ansatz gerechnet und folgende Lösung bekommen:
[mm] x_{1} [/mm] = -9 [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 4 [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = -4 [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
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> Hallo,
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> danke erstmal für deine Hilfe. Ich habe in der Zwischenzeit
> ein wenig in meinen Unterlagen gekramt und bin auf einen
> Ansatz mt der transponierten Ausgangsmatrix zur Berechnung
> des Bildes gestoßen.
>
> Dort habe ich dann folgende Lösung:
> < [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1} \vektor{0 \\ -6 \\ -3} \vektor{0 \\ 0 \\ -3}[/mm]
> >
>
> Weiterhin habe ich mit deinem Ansatz gerechnet und folgende
> Lösung bekommen:
>
> [mm]x_{1}[/mm] = -9 [mm]\lambda[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 4 [mm]\lambda[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = -4 [mm]\lambda[/mm]
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das kann doch gar nichts mit dem Bild zu tun haben, das Bild ist ein Unterraum des [mm] \IR^{\red{3}} [/mm] !!!
Aber die [mm] \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3\\x_4} [/mm] spannen den Kern von f auf.
Nun musst du überlegen, wie du daraus eine Basis basteln kannst.
Also jeder Vektor aus dem Kern ist von der Form [mm] \vec{x}=\vektor{-9\lambda \\ 4\lambda \\ -4\lambda \\ \lambda}=\lambda\cdot{}\vektor{-9 \\ 4\\-4\\1}, [/mm] also ist der Kern [mm] \left<\vektor{-9 \\ 4\\-4\\1}\right>
[/mm]
Damit ist [mm] \{\vektor{-9 \\ 4\\-4\\1}\} [/mm] eine Basis des Kernes von f , er hat mithin die Dimension 1
Nun weiter...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mo 19.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Wie du oben bereits geschrieben hast, kann ich jetzt davon ausgehen dass die Dimension des Bildes 3 ist. (Da dim(ker) + dim(im) = 4)
Soll ich jetzt also die 3 Vektoren aus der Matrix nehmen, die linear unabhängig sind - und diese 3 bilden dann die Basis des Bildes?
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> Wie du oben bereits geschrieben hast, kann ich jetzt davon
> ausgehen dass die Dimension des Bildes 3 ist. (Da dim(ker)
> + dim(im) = 4)
>
> Soll ich jetzt also die 3 Vektoren aus der Matrix nehmen,
> die linear unabhängig sind - und diese 3 bilden dann die
> Basis des Bildes? ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
rrrrichtig
Gruß
schachuzipus
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Aber bevor du lange rumrechnest.
Die Dimension des Bildes ist 3, das Bild ist Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] also....
ist das Bild doch der [mm] \IR^3, [/mm] dh du kannst auch die Standarbasis des [mm] \IR^3 [/mm] nehmen
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Mo 19.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Gut, letzte Frage, danke für deine Zeit.
Im Moment bin ich der Meinung, dass alle Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
Somit kann ich mir frei aussuchen, welche ich für die Basis des Bildes wähle, oder?
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> Im Moment bin ich der Meinung, dass alle Spalten der Matrix
> linear unabhängig sind.
Darüber solltest Du nochmal nachdenken...
Du hast hier 4 Vektoren, welche Elemente eines dreidimensionalen Raumes sind. Können die linear unabhängig sein???
Wenn Du davon ohne zu gucken drei auswählst als Basis für den [mm] \IR^3 [/mm] kann das ein Griff ins Klo sein!
Entweder Du schaust genau nach, daß Du unabhängige erwischst, oder Du nimmst eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] welche Dir bereits bekannt ist, so, wie schachuzipus es vorschlägt.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
es können im [mm] \IR^3 [/mm] oder in einem Unterraum desselben maximal 3 Vektoren linear unabhängig sein. Seine Dimension ist ja gerade 3
Also ist eine Menge mit 4 oder mehr Vektoren sicher linear abhängig.
Wie gesagt, nimm die Standarbasis (wegen [mm] Bild(f)\red{=}\IR^3) [/mm] oder suche dir 3 linear unabhängige aus den 4en aus.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 19.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Alles klar, danke dir.
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Tag zusammen! Ich bin neu hier in diesem Forum und gerade zufällig auf diese Aufgabe gestoßen. Obwohl die Diskussion hierzu nun schon einige Zeit zurückliegt, möchte ich doch gerne noch eine Frage zur oben genannten Aufgabe stellen.
Nachdem "newkrider" ja die Dimension Kerns und des Vektorraums herausgefunden hat, bin ich mir immernoch unsicher, wie ich diese Aufgabe vollständig zuende bringen kann. Für die Basis des Bildes muss ich ja, wenn ich das richtig verstanden habe, drei linear unabhängige Spaltenvektoren der Ausgangsmatrix nehmen, da das Bild ein unterraum vom $ [mm] \IR^3 [/mm] $ ist.
Angenommen ich wähle nicht die Standardbasis, wie schachuzipus es vorgeschlagen hat: welche möglichkeiten habe ich dann die linear unabhängigen Spaltenvektoren der Ausgangsmatrix zu wählen, ohne zwei linear abhängige zu erwischen? Ist es nicht so, dass ich, nachdem ich die Matrix in Zeilenstufenform gebracht habe, Spaltenvektor 1 und zwei wählen kann, da diese unterschiedliche Nullstellen haben und die Frage nach dem dritten Basisvektor auf einen der hinteren beiden Spaltenvektoren der Ausgangsmatrix M fällt?
Ich hoffe dass ich meine Frage verständlich formuliert habe und diese Aufgabe nach über drei Jahren schon in verstaubten Aktenordnern liegt. Für mich ist die Frage nach der korrekten Lösung immernoch aktuell.
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> Für die Basis des Bildes muss ich ja, wenn ich das
> richtig verstanden habe, drei linear unabhängige
> Spaltenvektoren der Ausgangsmatrix nehmen, da das Bild ein
> unterraum vom [mm]\IR^3[/mm] ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Für eine (!) Basis des Bildes kannst (!) Du drei linear unabhängige Spaltenvektoren nehmen, also aus dem aus aus 4 Spalten bestehenden Erzeugendensystem des Bildes eine Basis abschöpfen.
Du mußt (!) aber nicht - sofern es nicht ausdrücklich in der Aufgabenstellung gefordert ist - eine Basis angeben, welche aus Spalten der Matrix besteht. Jede andere Basis des Spaltenraumes wäre ebenso gut.
>
> Angenommen ich wähle nicht die Standardbasis, wie
> schachuzipus es vorgeschlagen hat: welche möglichkeiten
> habe ich dann die linear unabhängigen Spaltenvektoren der
> Ausgangsmatrix zu wählen, ohne zwei linear abhängige zu
> erwischen? Ist es nicht so, dass ich, nachdem ich die
> Matrix in Zeilenstufenform gebracht habe, Spaltenvektor 1
> und zwei wählen kann, da diese unterschiedliche
> Nullstellen haben und die Frage nach dem dritten
> Basisvektor auf einen der hinteren beiden Spaltenvektoren
> der Ausgangsmatrix M fällt?
Ja.
Von jeder "Stufe" einen.
> Ich hoffe dass ich meine Frage verständlich formuliert
> habe und diese Aufgabe nach über drei Jahren schon in
> verstaubten Aktenordnern liegt. Für mich ist die Frage
> nach der korrekten Lösung immernoch aktuell.
Ich glaube, daß ich Deine Frage verstanden habe und finde es gut, daß Du, statt neu zu posten, erst ein bißchen in alten Sachen gesucht hast.
Gruß v. Angela
>
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Hallo Angela!
danke erstmal für den netten Willkommensgruß! Auf die Aufgabe bin ich, wenn ich ehrlich bin, über die Webseite mit dem bunten Farbenlogo gestoßen... nicht ebay . Dennoch bin ich sehr froh, dass ich mich in diesem Forum angemeldet habe, bisher habe ich einen sehr guten Eindruck. Ich denke ich werde hier noch des öfteren mal in andere Aufgabenstellungen reinschauen.
Nochmal zur Aufgabe. Dann habe ich also hier zwei Möglichkeiten eine Basis des Bildes darzustellen... d.h., ich habe in jedem Fall die Möglichkeit die kanonische Basis zu wählen unter der Berücksichtigung, dass die Dimension der Standardbasis, dem [mm] \IR^n [/mm] des Bildes entspricht.
Alternativ kann ich die Stufen aus der in Stufenform gebrachten Ausgangsmatrix wählen. Liege ich da richtig?
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Hallo Zapata1879,
auch von mir ein
> Hallo Angela!
>
> danke erstmal für den netten Willkommensgruß! Auf die
> Aufgabe bin ich, wenn ich ehrlich bin, über die Webseite
> mit dem bunten Farbenlogo gestoßen... nicht ebay .
> Dennoch bin ich sehr froh, dass ich mich in diesem Forum
> angemeldet habe, bisher habe ich einen sehr guten Eindruck.
> Ich denke ich werde hier noch des öfteren mal in andere
> Aufgabenstellungen reinschauen.
>
> Nochmal zur Aufgabe. Dann habe ich also hier zwei
> Möglichkeiten eine Basis des Bildes darzustellen... d.h.,
> ich habe in jedem Fall die Möglichkeit die kanonische
> Basis zu wählen unter der Berücksichtigung, dass die
> Dimension der Standardbasis, dem [mm]\IR^n[/mm] des Bildes
> entspricht.
Hier ist n=3, ja.
>
> Alternativ kann ich die Stufen aus der in Stufenform
> gebrachten Ausgangsmatrix wählen. Liege ich da richtig?
Da liegst Du richtig.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Zapata1879 |
alles klar! vielen dank!
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