Kern einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss von der folgenden Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & -2 \\ 3 & 3 & 4 & 1}
[/mm]
den Kern, Rang, und die Dimension berechnen.
Als Rang habe ich 3 herausbekommen und als Dimension 1.
Ich weiß aber nicht wie ich den Kern bestimmen soll.
Könnt ihr mir paar Tipps geben?
Meine Rechnung ist im Anhang.
Vielen Dank im Voraus:)
LG Bubbles
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Di 20.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich muss von der folgenden Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & -2 \\ 3 & 3 & 4 & 1}[/mm]
>
> den Kern, Rang, und die Dimension berechnen.
> Als Rang habe ich 3 herausbekommen und als Dimension 1.
Deine Rechnung ist etwas umständlich, aber korrekt.
> Ich weiß aber nicht wie ich den Kern bestimmen soll.
Der Kern ist ein Vektor der Form [mm] \vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}, [/mm] so dass:
[mm] A\cdot\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
Löse das nun entstehende lineare Gleichungssystem für die Parameter von [mm] $\vec{v}$.
[/mm]
> Könnt ihr mir paar Tipps geben?
> Meine Rechnung ist im Anhang.
Tippe die Rechungen doch in Zukunft ab, das erleichtert das Korrigieren.
>
> Vielen Dank im Voraus:)
> LG Bubbles
>
Marius
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Danke für deine Hilfe:)
In meiner vorherigen Rechnung hatte ich die Matrix schon in die Stufenform gebracht.
Das sind die Gleichungen die ich da herausbekommen hatte:
[mm] 3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}= [/mm] 0
[mm] x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}= [/mm] 0
[mm] -2x_{3}+10x_{4}= [/mm] 0 |/(-2)
[mm] 3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}= [/mm] 0
[mm] x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}= [/mm] 0
[mm] x_{3}-5x_{4}= [/mm] 0
Ich habe [mm] x_{3} [/mm] als Parameter gewählt: [mm] x_{3}= \lambda
[/mm]
Die dritte Gleichung nach [mm] x_{4} [/mm] freigestellt:
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] 5-\lambda
[/mm]
Die zweite Gleichung nach [mm] x_{2} [/mm] aufgelöst und für [mm] x_{3} =\lambda [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] = [mm] 5-\lambda [/mm] eingesetzt:
[mm] x_{2}= -\lambda -3(5-\lambda)
[/mm]
[mm] x_{2}= 2\lambda-15
[/mm]
Die erste Gleichung nach [mm] x_{1} [/mm] freigestellt:
[mm] 3x_{1}= -3(2\lambda-15)+4\lambda-(5-\lambda)
[/mm]
[mm] 3x_{1}= -6\lambda +45-4\lambda-5-\Lambda
[/mm]
[mm] 3x_{1}= -11\lambda+40 [/mm] | / 3
[mm] x_{1}= \bruch{11}{3}\lambda +\bruch{40}{3}
[/mm]
[mm] \vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}= \vektor{\bruch{11}{3}\lambda +\bruch{40}{3}\\2\lambda-15\\\lambda\\5-\lambda}
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo bubblesXD,
> Danke für deine Hilfe:)
>
> In meiner vorherigen Rechnung hatte ich die Matrix schon in
> die Stufenform gebracht.
> Das sind die Gleichungen die ich da herausbekommen hatte:
>
> [mm]3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}=[/mm] 0
> [mm]x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}=[/mm] 0
> [mm]-2x_{3}+10x_{4}=[/mm] 0 |/(-2)
>
>
>
> [mm]3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}=[/mm] 0
> [mm]x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}=[/mm] 0
> [mm]x_{3}-5x_{4}=[/mm] 0
>
> Ich habe [mm]x_{3}[/mm] als Parameter gewählt: [mm]x_{3}= \lambda[/mm]
>
> Die dritte Gleichung nach [mm]x_{4}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]5-\lambda[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm]x_{4}=\red{\bruch{\lambda}{5}}[/mm]
Damit stimmt die weitere Rechnung nicht mehr.
> Die zweite Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst und für [mm]x_{3} =\lambda[/mm]
> und [mm]x_{4}[/mm] = [mm]5-\lambda[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]x_{2}= -\lambda -3(5-\lambda)[/mm]
> [mm]x_{2}= 2\lambda-15[/mm]
>
>
> Die erste Gleichung nach [mm]x_{1}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]3x_{1}= -3(2\lambda-15)+4\lambda-(5-\lambda)[/mm]
>
> [mm]3x_{1}= -6\lambda +45-4\lambda-5-\Lambda[/mm]
>
> [mm]3x_{1}= -11\lambda+40[/mm] | / 3
>
> [mm]x_{1}= \bruch{11}{3}\lambda +\bruch{40}{3}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}= \vektor{\bruch{11}{3}\lambda +\bruch{40}{3}\\2\lambda-15\\\lambda\\5-\lambda}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
Gruss
MathePower
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Danke:)
Ich habe alles nochmal nachgerechnet, und jetzt habe ich folgendes raus:
1) [mm] 3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}= [/mm] 0
2) [mm] x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}= [/mm] 0
3) [mm] x_{3}-5x_{4}= [/mm] 0
freier Parameter [mm] x_{3}=\lambda
[/mm]
3. Gleichung nach [mm] x_{4} [/mm] freigestellt:
[mm] x_{4}= \bruch{\lambda}{5}
[/mm]
2. Gleichung nach [mm] x_{2} [/mm] freigestellt:
[mm] x_{2}= -\lambda-\bruch{3\lambda}{5}
[/mm]
[mm] x_{2}=- \bruch{5\lambda}{5}-\bruch{3\lambda}{5}
[/mm]
[mm] x_{2}=-\bruch{8\lambda}{5}
[/mm]
1. Gleichung nach [mm] x_{1} [/mm] freigestellt:
[mm] x_{1}=\bruch{\bruch{-24\lambda}{5}-4\lambda-\bruch{\lambda}{8}}{3}
[/mm]
[mm] x_{1}= \bruch{-24\lambda}{15}-\bruch{4\lambda}{3}-\bruch{\lambda}{24}
[/mm]
[mm] \vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}= \vektor{\bruch{-24\lambda}{15}-\bruch{4\lambda}{3}-\bruch{\lambda}{24}\\-\bruch{8\lambda}{5}\\\lambda\\\bruch{\lambda}{5}} =\lambda \vektor{-\bruch{119}{40} \\ -\bruch{8}{5} \\ 1 \\ \bruch{1}{5}}
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
LG Bubbles
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Hallo bubblesXD,
> Danke:)
> Ich habe alles nochmal nachgerechnet, und jetzt habe ich
> folgendes raus:
>
> 1) [mm]3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}=[/mm] 0
> 2) [mm]x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}=[/mm] 0
> 3) [mm]x_{3}-5x_{4}=[/mm] 0
>
> freier Parameter [mm]x_{3}=\lambda[/mm]
>
> 3. Gleichung nach [mm]x_{4}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]x_{4}= \bruch{\lambda}{5}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]x_{2}= -\lambda-\bruch{3\lambda}{5}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=- \bruch{5\lambda}{5}-\bruch{3\lambda}{5}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=-\bruch{8\lambda}{5}[/mm]
>
> 1. Gleichung nach [mm]x_{1}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]x_{1}=\bruch{\bruch{-24\lambda}{5}-4\lambda-\bruch{\lambda}{8}}{3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}= \bruch{-24\lambda}{15}-\bruch{4\lambda}{3}-\bruch{\lambda}{24}[/mm]
>
Hier hast Du Dich verrechnet.
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}= \vektor{\bruch{-24\lambda}{15}-\bruch{4\lambda}{3}-\bruch{\lambda}{24}\\-\bruch{8\lambda}{5}\\\lambda\\\bruch{\lambda}{5}} =\lambda \vektor{-\bruch{119}{40} \\ -\bruch{8}{5} \\ 1 \\ \bruch{1}{5}}[/mm]
>
> Stimmt das jetzt so?
>
> LG Bubbles
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Mi 21.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe:)
>
> In meiner vorherigen Rechnung hatte ich die Matrix schon in
> die Stufenform gebracht.
> Das sind die Gleichungen die ich da herausbekommen hatte:
>
> [mm]3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}=[/mm] 0
> [mm]x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}=[/mm] 0
> [mm]-2x_{3}+10x_{4}=[/mm] 0 |/(-2)
>
>
>
> [mm]3x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+ x_{4}=[/mm] 0
> [mm]x_{2}+x_{3}+ 3x_{4}=[/mm] 0
> [mm]x_{3}-5x_{4}=[/mm] 0
>
> Ich habe [mm]x_{3}[/mm] als Parameter gewählt: [mm]x_{3}= \lambda[/mm]
>
> Die dritte Gleichung nach [mm]x_{4}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]5-\lambda[/mm]
>
> Die zweite Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst und für [mm]x_{3} =\lambda[/mm]
> und [mm]x_{4}[/mm] = [mm]5-\lambda[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]x_{2}= -\lambda -3(5-\lambda)[/mm]
> [mm]x_{2}= 2\lambda-15[/mm]
>
>
> Die erste Gleichung nach [mm]x_{1}[/mm] freigestellt:
>
> [mm]3x_{1}= -3(2\lambda-15)+4\lambda-(5-\lambda)[/mm]
>
> [mm]3x_{1}= -6\lambda +45-4\lambda-5-\Lambda[/mm]
>
> [mm]3x_{1}= -11\lambda+40[/mm] | / 3
>
> [mm]x_{1}= \bruch{11}{3}\lambda +\bruch{40}{3}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}= \vektor{\bruch{11}{3}\lambda +\bruch{40}{3}\\2\lambda-15\\\lambda\\5-\lambda}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
Nein. Das hättest Du aber selber feststellen können: der gesuchte Kern ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^4, [/mm] enthält also [mm] \vektor{0\\0\\0\\0}.
[/mm]
Aber keiner der obigen vektoren [mm] \vec{v} [/mm] ist = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Di 20.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich muss von der folgenden Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & -2 \\ 3 & 3 & 4 & 1}[/mm]
nennen wir die mal $A;$ dann ist $A [mm] \in \IR^{4 \times 4}.$
[/mm]
>
> den Kern, Rang, und die Dimension berechnen.
> Als Rang habe ich 3 herausbekommen und als Dimension 1.
Ich kenne den Begriff "Dimension einer Matrix" nicht. Wie habt ihr den
definiert?
(Ich fände es naheliegend, den Rang der Matrix auch Dimension zu
nennen - aber das tut ihr anscheinend nicht. Ich könnte mir allerdings
auch vorstellen, dass man mit der Dimension hier etwas anderes meint;
aber da dieser Wert dann 16 wäre, passt das wohl auch nicht zu Eurer
Definition....)
Nebenbei:
[mm] $\text{kern}A=\{x \in \IR^4:\;\;Ax=0\}$ [/mm] (die 0 rechterhand ist der "Null-(Spalten)Vektor
des [mm] $\IR^4$) [/mm] - insbesondere ist [mm] $\text{kern}A$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^4,$
[/mm]
dem Definitionsbereich der durch [mm] $A\,$ [/mm] repräsentierten linearen Abbildung
und [mm] $\text{Rang}A$ [/mm] ist die Dimension von [mm] $\{Ax: x \in \IR^4\}$ [/mm] (das ist hier
ein Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] - dem Zielbereich der linearen Abbildung, die
durch [mm] $A\,$ [/mm] repräsentiert wird!) und kann als die maximale Anzahl linear
unabhängiger Spalten von [mm] $A\,$ [/mm] aufgefasst werden. Da zudem [mm] $\text{Rang}A=\text{Rang}A^T$ [/mm] gilt,
kann man auch von der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen von
[mm] $A\,$ [/mm] sprechen...
Gruß,
Marcel
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