Kern des Homomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 23.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Liegt die Menge von Matrizen [mm] \{\pmat{ a & b \\ c & d }\in M_{2}(\IQ)|ad-bc=1\} [/mm] im Kern des Homomorphismus det: [mm] GL_{2}(\IQ)\to\IQ\backslash\{0\}? [/mm] |
Guten Abend an alle,
ich muss bei dieser Aufgabe nichts beweisen, ich will sie nur verstehen, sodass ich durch Überlegungen die Aufgabe mit Ja oder Nein beantworten kann 
Ich glaube ich brauche erstmal eine Erklärung was genau die Fragestellung aussagt :-S
Ich sehe zum Beispiel nicht, woran ich erkennen kann, dass es sich hier um eine Menge von Matrizen handelt??
Desweiteren ist mir der Begriff des Kerns des Homomorphismus etwas unklar, ich weiß nur, wie ich den Kern einer Matrix bestimme, könnte mir jemand den Zusammenhang mit Homomorphismen erklären bitte?
Dann weiß ich nicht, was genau die Abbildung det: [mm] GL_{2}(\IQ)\to\IQ\backslash\{0\} [/mm] aussagt.
Wie ihr seht kann ich die komplette Aufgabe nicht deuten. Wenn mir jemand das Grundlegende erstmal erklären könnte, sodass ich wieß, worüber genau ich eigentlich nachdenken muss, wäre das sehr nett :-D
Viele Grüße, Paula
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Hallo Paula,
> Liegt die Menge von Matrizen [mm]\{\pmat{ a & b \\
c & d }\in M_{2}(\IQ)|ad-bc=1\}[/mm]
> im Kern des Homomorphismus det:
> [mm]GL_{2}(\IQ)\to\IQ\backslash\{0\}?[/mm]
> Guten Abend an alle,
> ich muss bei dieser Aufgabe nichts beweisen, ich will sie
> nur verstehen, sodass ich durch Überlegungen die Aufgabe
> mit Ja oder Nein beantworten kann
>
> Ich glaube ich brauche erstmal eine Erklärung was genau
> die Fragestellung aussagt :-S
> Ich sehe zum Beispiel nicht, woran ich erkennen kann, dass
> es sich hier um eine Menge von Matrizen handelt??
Hää? An der Definition der Menge, da steht doch (leicht verbalisiert), dass das die Menge von [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen mit Einträgen aus [mm] $\IQ$ [/mm] ist, deren Determinante 1 ist.
Schau nochmal nach, wie sich die Det. einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix leicht berechnen lässt!
> Desweiteren ist mir der Begriff des Kerns des
> Homomorphismus etwas unklar, ich weiß nur, wie ich den
> Kern einer Matrix bestimme, könnte mir jemand den
> Zusammenhang mit Homomorphismen erklären bitte?
Na, der Kern eines Homomorphismus [mm] $\varphi: V\to [/mm] W$ ist die Menge aller Elemente aus $V$, die auf das neutrale Element in $W$ abgebildet werden.
> Dann weiß ich nicht, was genau die Abbildung det:
> [mm]GL_{2}(\IQ)\to\IQ\backslash\{0\}[/mm] aussagt.
Nun, was ist [mm] $\operatorname{Gl}_2(\IQ)$?
[/mm]
Das ist die Menge aller invertierbaren Matrizen über [mm] $\IQ$
[/mm]
Und die haben eine Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$, also ist für jedes [mm] $M\in \operatorname{Gl}_2(\IQ)$ [/mm] doch [mm] $det(M)\in\IQ\setminus\{0\}$ [/mm] (irgendeine rationale Zahl [mm] $\neq [/mm] 0$
Was ist neutrales Element? (welche Verknüpfung wird in [mm] $\IQ\setminus\{0\}$ [/mm] betrachtet?)
Du sollst nun schauen, ob die oben definierte Menge von Matrizen im Kern dieser Determinantenabb. liegt ...
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> Wie ihr seht kann ich die komplette Aufgabe nicht deuten.
> Wenn mir jemand das Grundlegende erstmal erklären könnte,
> sodass ich wieß, worüber genau ich eigentlich nachdenken
> muss, wäre das sehr nett :-D
>
> Viele Grüße, Paula
Gruß
schachuzipus
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