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| Aufgabe | geg. A= [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
nun soll der kern von A bestimmt werden. |
ich habe die matrix
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
mit gauß soweit umgeformt, dass folgendes rauskommt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
weiter kann man die matrix ja nicht auf zeilenstufen form bringen. ich dachte es gibt da diese "-1 trick regel" (weiß leider nicht wie die heißt), bei der man in der hauptdiagonalen alle nullen durch -1 ersetzt und somit den kern ablesen kann.
das würde hier ja folgendes bedeuten:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
[/mm]
=> Ker(A)= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
wenn ich das allerdings überprüfe und A*ker(A) rechne kommt nicht (0,0,0) raus.
wenn ich aber die mit gauß umgeformte matrix nehme und sie mit (0,0,0) gleich setzt erhalte ich folgenden vektor als kern: ker(A)=(-5,1,2)
was ist jetzt richtig und warum geht das mit dem "-1 trick" nicht?
danke schon mal im voraus für die hilfe.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 05.04.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
der "-1 Trick" sagt mir gar nichts.
Aber wenn du deine umgeformte Matrix anschaust, siehst du, dass nur [mm] x_3 [/mm] frei wählbar ist, d.h. der Kern ist eindimensional. Setzt du z.B. [mm] x_3=t [/mm] so kannst du die zwei Gleichung nach [mm] x_2 [/mm] und die erste nach [mm] x_1 [/mm] auflösen.
(Ergebnis: [mm] x_2=\frac{1}{2}t [/mm] und [mm] x_1=-\frac{5}{2}t [/mm] )
D.h. der Vektor [mm] \vektor{-\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1} [/mm] liegt im Kern und eine (einfache) Basis des Kerns ist z.B. [mm] \vektor{-5 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
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> geg. A= [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
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> nun soll der kern von A bestimmt werden.
> ich habe die matrix
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mit gauß soweit umgeformt, dass folgendes rauskommt:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> warum geht das mit dem "-1 trick"
> nicht?
Hallo,
um den -1-Trick anzuwenden, muß die Matrix in reduzierter (!) Zeilenstufenform vorliegen, also mit Einsen als führende Elemente der Nichtnullzeilen und mit Nullen über und unter diesen:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] --> [mm] \begin{pmatrix} 1& 0& \bruch{5}{2} \\ 0 & 1&- \bruch{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
[/mm]
und nun klappt auch der -1-Trick.
Gruß v. Angela
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