Kern Bild und Rang bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Fr 01.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Eine ($ m [mm] \times [/mm] n $)-Matrix $ A $ definiert gemäß $ L(x) := Ax $ eine lineare Abbildung $ L: [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] $. Bestimmen Sie Kern und Bild von $ L $ sowie den Rang von $ A $ für die folgende Matrix:
[mm] A = \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 0 & 1 \\ 8 & -2 & -2 & 2} [/mm]. |
Hallo,
ich bin gerade dabei für eine LinA Klausur zu üben. Ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe, wie genau soll man das Bild angeben? Die Frage ist vielleicht sehr elementar, jedoch haben wir solche Aufgaben nie wirklich geübt, denn unser Prof fand das immer zu trivial. Wir haben zwar ähnliche Übungsaufgaben gehabt, doch der Prof meinte, wir könnten dann ja selber verifizieren, ob unsere Lösungen richtig seien.
Erstmal bestimme ich Kern und Rang wie folgt:
Ich wende Gauß Jordan an und komme am Ende auf diese Form: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{2}{3}} [/mm]
Ich habe 3 lin. unabh. Zeilen, also ist $ r(A) = 3 $.
Der Kern ergibt sich auch: $ Ker(L) = t [mm] \vektor{-\bruch{1}{3} \\ -1 \\ \bruch{2}{3} \\ 1} [/mm] $
Ist es nun hinreichend zu sagen, das Bild ist: $ Im(L) = [mm] \IR^3 [/mm] $? Oder muss man eine Basis angeben? Das wäre ja aber trivial, denn man kann ja einfach die kanonische Basis angeben, oder?
Ist dann nicht immer das Bild bestimmt durch $ [mm] \IR^{r(A)} [/mm] $?
Ich habe auch gelesen, dass man, um das Bild zu bestimmen, die Matrix $ A $ transponiert und Gauß Jordan anwendet, bis nur noch lin. unabh. Zeilen übrig bleiben. Diese Zeilen, dargestellt als Spaltenvektoren, bilden die Basis des Bilds.
Wann muss man so vorgehen? Und wann reicht es zu sagen das Bild sei $ [mm] \IR^{r(A)} [/mm] $?
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> Eine ([mm] m \times n [/mm])-Matrix [mm]A[/mm] definiert gemäß [mm]L(x) := Ax[/mm]
> eine lineare Abbildung [mm]L: \IR^n \to \IR^m [/mm]. Bestimmen Sie
> Kern und Bild von [mm]L[/mm] sowie den Rang von [mm]A[/mm] für die folgende
> Matrix:
>
> [mm]A = \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\
-3 & 2 & 0 & 1 \\
8 & -2 & -2 & 2} [/mm].
>
> Hallo,
> ich bin gerade dabei für eine LinA Klausur zu üben. Ich
> habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe, wie genau soll man
> das Bild angeben?
Hallo,
i.a. gibt man eine Basis des Bildes an.
> Erstmal bestimme ich Kern und Rang wie folgt:
> Ich wende Gauß Jordan an und komme am Ende auf diese
> Form: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -\bruch{2}{3}}[/mm]
>
> Ich habe 3 lin. unabh. Zeilen, also ist [mm]r(A) = 3 [/mm].
> Der
> Kern ergibt sich auch: [mm]Ker(L) = t \vektor{-\bruch{1}{3} \\
-1 \\
\bruch{2}{3} \\
1}[/mm]
Ja. [mm] t\in \IR [/mm] solltest Du vielleicht der Ordnung halber och irgendwie dazuschreiben. Am besten richtest Du Dich nach den Gepflogenheiten Deiner Vorlesung.
>
> Ist es nun hinreichend zu sagen, das Bild ist: [mm]Im(L) = \IR^3 [/mm]?
Ja. Da das Bild ein dreidimensionaler UVR des [mm] \IR^3 [/mm] ist, knn es nur der [mm] \IR^3 [/mm] selber sein, und diese Erkenntnis ist wertvoller, als wenn Du dahergehst und irgendeine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] angibst.
In anderen Fällen, z.B. wenn Du einen dreidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] hast, gib' eine Basis an.
> Ist dann nicht immer das Bild bestimmt durch [mm]\IR^{r(A)} [/mm]?
Nein.
Stell Dir vor, das Bild einer Matrix wäre [mm] <\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{2\\2\\0\\0}>. [/mm] Dies ist ein zweidimensionaler UVR des [mm] \IR^4.
[/mm]
Er ist auch isomorph zum [mm] \IR^2, [/mm] aber es ist nicht der [mm] \IR^2, [/mm] was Du ja schon daran sehen kannst, daß die Vektoren 4 Einträge haben.
>
> Ich habe auch gelesen, dass man, um das Bild zu bestimmen,
> die Matrix [mm]A[/mm] transponiert und Gauß Jordan anwendet, bis
> nur noch lin. unabh. Zeilen übrig bleiben. Diese Zeilen,
> dargestellt als Spaltenvektoren, bilden die Basis des
> Bilds.
Stimmt, so kann man's machen.
>
> Wann muss man so vorgehen?
Man muß gar nicht.
Man kann auch "ganz normal" den Gaußalgorithmus anwenden.
Hat man am Ende die führenden Elemente der Nichtnullzeilen z.B. in der 1. und 3. Spalte stehen, so weiß man, daß die 1. und 3. Spalte der Ursprungsmatrix eine Basis des Bildes sind.
> Und wann reicht es zu sagen das
> Bild sei [mm]\IR^{r(A)} [/mm]?
Wenn die Matrix n Zeilen hat und der rg(A)=n ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 01.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Man kann auch "ganz normal" den Gaußalgorithmus
> anwenden.
> Hat man am Ende die führenden Elemente der
> Nichtnullzeilen z.B. in der 1. und 3. Spalte stehen, so
> weiß man, daß die 1. und 3. Spalte der Ursprungsmatrix
> eine Basis des Bildes sind.
Hallo Angela,
erst mal danke für die Antwort!
Wie genau ist das gemeint (s.o)? Ich habe dazu habe eine gute Beispielaufgabe gefunden:
[mm] A = \pmat{ 1 & 3 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -1 } [/mm] Nach Anwenden von Gauß bekommt man: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm]
[mm] Ker(A)=t\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, t \in \IR [/mm]
Der Rang ist [mm]r(A) = 3 = r(Im(A))[/mm]. Da es eine Abbildung von $ [mm] \IR^4 \to \IR^4 [/mm] $ ist, ist der Bildraum ein dreidimensionaler Teilraum des $ [mm] \IR^4 [/mm] $ aber nicht gleich dem $ [mm] \IR^4 [/mm] $.
Wie bestimme ich jetzt die Basis des Bilds? Ich hätte jetzt $ [mm] A^{-1} [/mm] $ gebildet und dann nach Gauß die lin. unabh. Zeilen als Spaltenvektoren dargestellt.
Wie geht das nun nach der von dir beschriebenen Methode?
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> > Man kann auch "ganz normal" den Gaußalgorithmus
> > anwenden.
> > Hat man am Ende die führenden Elemente der
> > Nichtnullzeilen z.B. in der 1. und 3. Spalte stehen, so
> > weiß man, daß die 1. und 3. Spalte der Ursprungsmatrix
> > eine Basis des Bildes sind.
>
> Hallo Angela,
> erst mal danke für die Antwort!
>
> Wie genau ist das gemeint (s.o)? Ich habe dazu habe eine
> gute Beispielaufgabe gefunden:
>
> [mm]A = \pmat{ 1 & 3 & 0 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & -2 & -1 }[/mm]
> Nach Anwenden von Gauß bekommt man: [mm]\pmat{ \red{1 }& 0 & 0 & 1 \\
0 & \red{1} & 0 & -1 \\
0 & 0 &\red{ 1} & 0 }[/mm]
>
> [mm]Ker(A)=t\vektor{-1 \\
1 \\
0 \\
1}, t \in \IR[/mm]
>
> Der Rang ist [mm]r(A) = 3 = r(Im(A))[/mm]. Da es eine Abbildung von
> [mm]\IR^4 \to \IR^4[/mm] ist, ist der Bildraum ein dreidimensionaler
> Teilraum des [mm]\IR^4[/mm] aber nicht gleich dem [mm]\IR^4 [/mm].
>
> Wie bestimme ich jetzt die Basis des Bilds?
Hallo,
ich habe die führenden Elmente der Nichtnullzeilen markiert. Sie sind in der 1., 2., 3.Spalte.
Also bilden die Vektoren in der 1., 2., 3.Spalte der Matrix $A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -1 }$eine [/mm] Basis des Bildes von A.
> Ich hätte
> jetzt [mm]A^{-1}[/mm] gebildet
Du meinst sicher [mm] A^{T}.
[/mm]
> und dann nach Gauß die lin. unabh.
> Zeilen als Spaltenvektoren dargestellt.
Das geht auch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Fr 01.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
Aha! Jetzt habe ich es verstanden :)
Ja, ich meinte $ [mm] A^T [/mm] $.
Danke und Grüße,
b
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