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| Aufgabe | Sei V ein K-VR und f: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus , so dass f [mm] \circ [/mm] f = f gilt.
a) Zeigen sie:
i) f(v) = v für alle v [mm] \in [/mm] Bild(f)
ii) Kern(f) [mm] \cap [/mm] Bild(f) = 0
iii) Kern(f) + Bild(f) = V
b) Sei g ein weiterer Endomorphismus von V mit g [mm] \circ [/mm] g = g. Zeigen sie Bild(f) = Bild(g) [mm] \gdw [/mm] g [mm] \circ [/mm] f = f und f [mm] \circ [/mm] g = g |
a) i) Habe mir da einfach die Definition von Bild angeschaut und besagt ja Bild(f)= [mm] \{ w \in W | es gibt ein v so das f(v) = w \} [/mm] . Die Definition bezog sich ja aber nur auf einen Homomorphismus und da wir jetzt ja V -> V haben müsste Das Bild ja Bild(f)= [mm] \{ v \in v | es gibt ein v so das f(v) = v \} [/mm] sein. Also nur die Definiton verarbeitet. Reicht das schon?
Bei den restlichen weiß ich leider nicht wie ich beginnen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 28.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Hallo :)
> . Die Definition bezog sich ja aber nur auf einen
> Homomorphismus und da wir jetzt ja V -> V haben müsste Das
> Bild ja Bild(f)= [mm]\{ v \in v | [/mm] es gibt ein v so das [mm]f(v) = v \}[/mm]
> sein. Also nur die Definiton verarbeitet. Reicht das
> schon?
Nein so noch nicht, denn du setzt ja schon vorraus das genau das [mm]v[/mm] auf sich selber abgebildet wird, wobei du eigentlich nur sagen kannst:
Bild(f)= [mm]\{ v \in v | [/mm] es gibt ein [mm]w\in V[/mm] so das [mm]f(w) = v \}[/mm]
> Bei den restlichen weiß ich leider nicht wie ich beginnen
Na mal sehen
ii) Kern(f) $ [mm] \cap [/mm] $ Bild(f) = 0
nimm dir mal ein [mm] 0\not=a\in [/mm] V und gehe davon aus es sei [mm] a\in [/mm] Kern(f)
Was bedeutet das dann? Was heißt es im Kern zu liegen überhaupt?
Und was bedeutet es für dein gegebenes f, von dem du ja noch etwas besonderes weißt.
iii) Kern(f) + Bild(f) = V
sollte das eventuell Kern(f) [mm] \cup [/mm] Bild(f) = V heißen?
Naja stell dir mal anschaulich vor was es bedeutet wenn dies nicht gillt. Also was wäre mit einem Element von V das nicht in dieser Vereinigung liegen würde? Solche Elemente gibt es im Allgemeinen, aber es verstößt hier gegen die Eigenschaft
(f [mm] \circ [/mm] f) (x) =f(x)
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu i)
sei v [mm] \in [/mm] Bild(f), also ex. ein u [mm] \in [/mm] V mit v = f(u). Dann: f(v) = f(f(u)) = f(u) = v
Zu ii)
Sei v [mm] \in [/mm] Kern(f) $ [mm] \cap [/mm] $ Bild(f). Dann gilt nach i): v = f(v). Außerdem ist f(v) = 0. Es folgt: 0= f(v) = v.
Jetzt probier iii) mal selbst.
FRED
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