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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Do 13.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Liegt der Vektor [mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ 2} [/mm] im Kern(A)?
A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & 3 } \in R^{2,3} [/mm] |
Hallo,
[mm] A(\vektor{-3 \\ -3 \\ 2})= \vektor{-15 \\ 15}.
[/mm]
Heißt das, dass der Vektor nun im Kern ist oder nicht?
Oder muss dann immer der Nullvektor rauskommen?
Lg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Do 13.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Liegt der Vektor [mm]\vektor{-3 \\ -3 \\ 2}[/mm] im Kern(A)?
>
> A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & 3 } \in R^{2,3}[/mm]
> [mm]A(\vektor{-3 \\ -3 \\ 2})= \vektor{-15 \\ 15}.[/mm]
Richtig.
> Heißt das, dass der Vektor nun im Kern ist oder nicht?
Nein.
> Oder muss dann immer der Nullvektor rauskommen?
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 13.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | | Liegt der Vektor [mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ 2} [/mm] im Bild(A)? |
Ok.
Der Vektor liegt nicht im Bild von A, da er ja 3 Komponenten hat. Nur weiß ich nicht wie man das mathematisch korrekt begründen kann.
Sagt man [mm] \vec{v}\in \IR^{3} [/mm] und [mm] A(\vec{v}\)\in \IR^{2,3} [/mm] und da die Dimension unterschiedlich ist, ist der Vektor nicht im Bild(A).
Wie ist das allgemein mathematisch definiert ob ein Vektor in einem Bild von einer linearen Abbildung ist?
Gruß.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 13.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Allgemeiner: Ist [mm] $f:X\to [/mm] Y$ eine Abbildung, dann ist das Bild definiert als [mm] $\operatorname{im} f:=\{f(x)|x\in X\}$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $\operatorname{im} f\subset [/mm] Y$. Etwas, das nicht in $Y$ liegt kann also auch nicht im Bild von f liegen. Ein Element [mm] $y\in [/mm] Y$ liegt genau dann in [mm] $\operatorname{im} [/mm] f$, wenn es ein [mm] $x\in [/mm] X$ gibt mit $f(x)=y$.
In deinem konkreten Beispiel genügt es also zu sagen, dass [mm] $\vektor{-3\\-3\\2}\not\in\IR^2$ [/mm] ist,
Gruß, Robert
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