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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 So 08.06.2008 | | Autor: | marta |
Guten Abend alle
Kann jemand mir hilfen,wie ich folgende aufgaben lösen kann?
[mm] {\bf [10 Punkte (2+2+3+3)]}\\ [/mm] Sei K ein Körper und V ein endlich--dimensionaler $K$--Vektorraum. Gegeben seien zwei Endomorphismen [mm] $p,q\in\operatorname{End}_K(V)$ [/mm] mit folgenden Eigenschaften: [mm] $$p^2=p\mbox{~~,~~~}q^2=q \mbox{~~und~~~}p+q=\operatorname{Id}_V.$$ [/mm] Wir setzen [mm] $U:=\operatorname{Bild}(p)$ [/mm] und [mm] $W:=\operatorname{Bild}(q)$. [/mm] Zeigen Sie: [mm] \begin{enumerate} \item[{(a)}] $p|_U=\operatorname{Id}_U$, $q|_W=\operatorname{Id}_W$, \item[{(b)}] $U=\operatorname{Kern}(q)$, $W=\operatorname{Kern}(p)$, \item[{(c)}] $V=U\oplus W$, und $p,q$ sind die Projektionen auf $U$ bzw. $W$ (bzgl.\ der Zerlegung $U\oplus W$), \item[{(d)}] $p$ und $q$ sind diagonalisierbar. \end{enumerate}
[/mm]
Danke Grüß Marta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo Marta,
überleg Dir am besten zuerst, wie die Abbildung p auf dem Unterraum U wirkt. Wenn ich mir eine Basis von Bild(p) wähle, welche Matrixdarstellung hat dann p bzgl. dieser Basis. Das gleiche kannst Du natürlich auch für q und W tun.
Wenn Du die Matrixdarstellung anschaust, dann siehst Du auch hoffentlich, warum p und q Projektionen sind. Wegen p+q= [mm] Id_v [/mm] folgt dann auch, daß der Schnitt leer ist. Alles weitere sollte dann hoffentlich klappen. Wenn Du noch weitere Fragen hast, dann schreib einfach.
Gruß,
Kyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Mo 09.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Der Schnitt von 2 Unterräumen ist nie leer !!
Für diese Aufgabe braucht man keine Basis, Matrizen, etc....... .
Ist zum Bsp. x in U , so ist p(z) = x für ein z in V,
dann p(x) = p²(z) = p(z) = x.
Also ist die Einschränkung von p auf U die Id auf U.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Kyle |
Ich möchte jetzt hier keine große Diskussion über Didaktik starten, aber es war eher mein Ziel, Anregungen zu geben und eine Vorstellung zu vermitteln, wie sich idempotente Endomorphismen verhalten, als einfach eine Lösung zu posten...
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