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| Aufgabe | Bestimme das Volumen des mitgelieferten Glases.
a) erläutere kurz die Keplersche Fassregel und berechne so das Fassungsvermögen des Glases
b) verbessere das Ergebnis durch Weiterentwicklung der Keplerschen Fassregel oder entwickele eine andere Methode. |
estmal das bild meines Glases:
![[]](/images/popup.gif) http://i16.photobucket.com/albums/b40/Kaoru-sama-ki-chan/DSC00137.jpg
so.. tut mir leid, dass alles echt kurzfristig ist.. aber ich konnte mich erst gestern mit nem kumpel dransetzen, weil ich es alleine nicht wirklich verstanden habe und so weiter.. jedenfalls.. eigentlich haben wir sehr viel erarbeitet.. nur beim 2. aufgabenteil hapert es.. genauere erklärung folgt bei der Rechnung.
wäre echt super, wenn ihr generell auch mal drüber gucken könntet ob alles einleuchtend ist und keine großen fehler drin sind ><
erstmal: ich habe das glas in 2 teile geteilt. Der untere, etwas bauchige Teil und eben der obere Teil.
Maße für den unteren Teil
Unten habe ich folgendes gemessen:
[mm] r_{1}=3 [/mm] cm
[mm] r_{2}=5 [/mm] cm
h= 6 cm
Maße für den unteren Teil
[mm] r_{3}= [/mm] 3,74 cm
[mm] r_{4}= [/mm] 5 cm
h= 3,5 cm
Die Werte für die Radien betreffen jeweils das Äußere des Glases und ich habe sie mit Hilfe des Umfangs genauer herleiten können, wobei die werte natürlich gerundet sind.
Die Höhen habe ich innen gemessen und musste auch teilweise viel schätzen ~~
Die Herleitung der Fassregel habe ich hierher.
a)
Unterer Teil
Ich habe den unteren Teil des Glases als halbes Fass angesehen.
Anhand der Herleitung habe ich erst das Volumen für einen Kegelstumpf ausgerechnet:
[mm] V_{1}=\bruch {\pi * (r_{1}^{2}+r_{1}*r_{2}*r_{2}^{2})*h}{3}
[/mm]
daraus ergibt sich, wenn man die Maßeinheiten in dm umrechnet:
[mm] V_{1}=\bruch {\pi * (0,3^{2}+0,3*0,5*0,5^{2})*0,6}{3}
[/mm]
[mm] V_{1}\approx [/mm] 0,308
Da dies nur den ersten Näherungswert beschreibt, habe ich nun noch den Inhalt eines Zylinders zur zweiten Näherung berechnet [da es sich hier nur um ein halbes Fass handelt, kann man den schritt, dieses ergebnis zu verdoppeln ja weglassen]
[mm] V_{2}= \pi*r_{2}^{2}*h
[/mm]
daraus folgt:
[mm] V_{2}= \pi*0,5^{2}*0,6
[/mm]
[mm] V_{2}\approx [/mm] 0,471
Jetzt muss man die Differenz aus beiden bilden, sprich beie zusammenzählen und durch 2 teilen:
[mm] V_{3}= \bruch {V_{1}+V_{2}}{2}
[/mm]
[mm] V_{3}\approx [/mm] 0,3896
oberer Teil
selbes Verfahren, nur dass diesmal [mm] V_{1}größer [/mm] ist als [mm] V_{2}:
[/mm]
[mm] V_{1}=\bruch {\pi * (r_{3}^{2}+r_{3}*r_{4}*r_{4}^{2})*h}{3}
[/mm]
[mm] V_{1}=\bruch {\pi * (0,374^{2}+0,374*0,5*0,5^{2})*0,35}{3}
[/mm]
[mm] V_{1}\approx [/mm] 0,211
[mm] V_{2}= \pi*r_{2}^{2}*h
[/mm]
[mm] V_{2}= \pi*0,374^{2}*0,35
[/mm]
[mm] V_{2}\approx [/mm] 0,154
[mm] V_{3}= \bruch {V_{1}+V_{2}}{2}
[/mm]
[mm] V_{3}\approx [/mm] 0,182
Als Gesamtvolumen ergibt sich dann:
0,5716
b)
So.. gemessen habe ich allerdings, dass 500 ml rein passen.. wären also 71,6 ml zu viel. Kommen wir also zum 2. Teil der Aufgabenstellung..
was den oberen Teil angeht, habe ich ca. 300 ml gemessen. Dabei ist mir aufgefallen, dass das 1. Volumen, dass ich mithilfe der Formel für einen Kegelstumpf berechnet habe, ja ca 300 ml beträgt [durch Messfehler und Runden ist es ja etwas mehr]. Und auch wenn man sich das Glas anguckt fällt auf, dass es eigentlich nicht diese Wölbung hat, die ein Fass als solches charakterisiert. Deshalb denke ich, kann man das als "Verbesserung" so stehen lassen oder?
zum unteren Teil:
Da ich mich an eine weiterentwicklung nicht ganz rangetraut habe, wollte ich mal versuchen, das Volumen mithilfe eines Integrals aus zu rechnen, indem ich diesen teil des Glases als Parabel betrachte:
zwei bekannte Punkte wären hierbei:
[mm] P_{1}(4|5)
[/mm]
[mm] P_{2}(0|3,74)
[/mm]
meine Normalform ist: [mm] ax^{2}+bx+c
[/mm]
hierbei habe ich der Einfachheit halber die cm Werte belassen
dazu habe ich dann meinen Bekannten zu Rate gezogen, dieser sagte, man könne es als Normalparabel, die um 3,74 Einheiten nach oben verschoben ist, betrachten. Die Steigung a berechne sich hierbei aus [mm] \bruch{5}{3,5^{2}}
[/mm]
Die Parabelgleichung wäre also:
f(x)= [mm] \bruch [/mm] {20}{49} [mm] x^{2} [/mm] + 3,74
Die Berechnung des Volumens durch Integral wäre demnach:
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{3,5}{(\bruch {20}{49} x^{2} + 3,74)^{2} dx}
[/mm]
[mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{3,5}{(0,166597 x_{4} + 2,7755 x^{2} + 13,9876) dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] * [0,0333194 [mm] x^{5}+ [/mm] 0,92516 [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 13,9876x]_{0}^{3,5} [/mm] [Stammfunktion]
[3,5 für x einsetzen]
= [mm] \pi [/mm] * [17,499973 + 39,666235 + 48,9566]
[mm] \approx [/mm] 333,3947
wäre also ein GEsamtinhalt von 641,3947 ml
und ist somit noch ungenauer..
meine Vermutung ist ja, dass es bis zur "verbesserung" des Volumen des unteren Teils richtig ist.. nur das mit dem Volumen vom obren Teil klappt nicht so richtig ~~
kann mir wer helfen? ;O; wäre soo unglaublich super ><
danke schonmal ^^~
ach ja.. Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:gulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. warum nimmst du nicht das gesamte Volumen (bis zu dem oberen Strich als Fass?
2. Beim Zylinder, warum den äusseren Zylinder und nicht den mittleren mit Radius (r1+r2)/2
3. du rotierst die Parabel um die x-Achse, aber wenn das Ding parablig ist, dann um die y-Achs rotiert!
dieser Teil ist also falsch.
4. mal den Umriss möglichst genau auf ein Papier,
oder mal den Schatten mit ner starken Lampe auf, verkleiner dann ieder massstäblich, da du ja einige Maase genau kennst.
beschreibe die Form dann durch ne Gleichung 4. Grades.:
4 Werte Anfang, Ende 2 dazwischen: , von der Symmetrieachse zum Umriss gemessen, dazu die Lage des Maximums.
dann rotier die fkt um die x-Achse.
5. wenn du alle Radien von aussen gemessen hast, schatz ganz grob die Oberfläche: [mm] 2*\pi*r*h [/mm] für r ein mittlerer Radius und dann mal Dicke des Glases. das gibt ne gute Abschatzung des Fehlers gegenüber der Messung. (ich hab bei 0,2cm Glasdicke ca [mm] 40-50cm^3 [/mm] raus.)
Die Parabel zu rotieren, auch richtigrum ist sicher nicht gut, wenn du die Parabel im Scheitel anfangen lässt. wenn, dann nur ein Stück Parabel! zeichne es auf.
Gruss leduart
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okay habe mich jetzt eingehend mit deiner antwort und meiner aufgabe beschäftigt und..ja..also:
1. ja ich könnte auch gleich das gesamte volumen nehmen, aber das würde doch ungefähr aufs selbe rauskommen oder? außerdem ist das volumen, das ich durch die regel bestimmt habe, erstmal zweitrangig
3. Parabeln können doch auch um die x-achse rotieren.. also das habe ich so gelernt oo aber in einem punkt hast du recht, dass es dann nämlich nicht mehr die normalparabel ist
4. okay also funktion 4. grades? mehrere punkte bzw extremwerte sind leider schwer zu bestimmen, aber ich versuche mich grade dran Uu wobei ich nicht mehr genau weiß wie das mit der lage des maximums funktioniert, zumal ich hier auch ein randmaximum habe.
okay ich versuche noch irgendwie was draus zu machen, wobei ich immer noch recht ratlos bin Uu
aber vielen dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 So 24.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Parabeln um die y-Achse zu drehen ist nicht schwieriger als um die x-achse. aber du kannst für dein Stück gefäss keine Parabel nehmen, die am Scheitel anfängt, sonst wärs ne Art Sektglas.
2. Warum nicht das mit dem Schatten ausprobieren; dann da LIEGENE Glas in der Mitte "durchschneiden" , ich seh grad, du kannst einfach dein Foto nehmen, ausschneiden, auf ein mm Papier legen so dass die Symmetrilinie waagerecht ist.
dann hast du erstmal die genaue Form der Kurve.
jetzt eine Länge auf der Zeichnung ablesen, die du auch am richtigen Glas gut messen kannst. damit hast du den Maßstab.
jetzt hast du einen deutlichen höchsten Punkt=maximum, etwa in der Mitte des Glases. da ist dein f'(x)=0 und f(x) kannst du auch noch ablesen. jetzt noch Anfang bei x=0 dort f(x) ablesen usw.
2. Möglichkeit, 2 fkt dritten Grades, indem du das Glas etwa in der Mitte durchneidest. und in 2 Teilen beschreibst.
Das soll ja auch ein Referat werden, also lohnt es sich Arbeit reinzustecken!
Gruss leduart
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![[]](http://i16.photobucket.com/albums/b40/Kaoru-sama-ki-chan/DSC00137.jpg){kind=small}
http://i16.photobucket.com/albums/b40/Kaoru-sama-ki-chan/DSC00137.jpg