Keine einf. Gruppe d. Ord 40 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 02.08.2012 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Zeige: Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 40. |
Hi Leute,
(vorab: tippe das hier alles gerade
mit dem Handy ein, also bitte habt Nachsicht bei
merkwuerdiger Form oder Tippfehlern)
Folgendes hab' ich aufgeschrieben:
Es ist $\ | G | = 40 = [mm] 2^3*5 [/mm] $
Erste frage hier direkt: haette ich hier auch zur Verwendung
der Saetze von Sylow die Darstellung 40 = 5*8 nutzen duerfen? Das macht ja
spaeter schon einen Unterschied.
Aus den Saetzen von Sylow folgt,
dass zu jedem $\ k = 1,2,3 $ mindestens
eine Untergruppe in G der Ordnung $\ [mm] p,p^2,p^3$ [/mm] existiert.
Also existiert mindestens eine 3-sylowuntergruppe S mit $\ |S| = [mm] p^3 [/mm] = [mm] 2^3 [/mm] = 8 $.
Sei $\ s $ die Anzahl der 3-sylowuntergruppen, so gilt
$\ s [mm] \in \{1,5\} [/mm] $ und $\ s [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 $.
Es ist $\ s [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 [mm] \gdw [/mm] s = 1$
Also existiert eine 3-sylowuntergruppe
von G.
Das wars soweit.
Ist das die einzige 3-sylowuntergruppe? Gint es noch weitere p-Sylowuntergruppen, die ich ausser Acht gelassen hab?
Sind meine Aufzeichnungen soweit richtig und folgt daraus schon, dass
G nicht einfach ist?
Vielen Dank!
Vielw Gruesse,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 02.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also eine 3-Sylowuntergruppe gibt es bei der Gruppe G mit [mm] |G|=2^3*5 [/mm] nicht. Es gibt nur 2-Sylowuntergruppen, die Ordnung 8 haben und 5-Sylowuntergruppen. 8-Sylowuntergruppen gibt es nicht weil ja [mm] 2^3=8 [/mm] gilt.
Deine Argumentation stimmt also nicht.
Versuchs mal mit der 5-Sylowuntergruppe. Damit gehts.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 02.08.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
vielen Dank fuer die schnelle Antwort. Warum ich da oben
3-sylowuntergruppen schrieb, ist mir im Nachhinein schleierhaft.
Gemaess den Saetzen v. Sylow waren natuerlich die 2-sylowuntergruppen
gemeint.
Doch wie kommt man auf die 5-Sylowuntergruppen? Das frag ich mich.
Ich hab mich in diesem Fall sehr streng an die Form $\ | G | = [mm] p^m*q [/mm] $ gehalten. Auf 5-sylowgruppen stosse ich doch fuer $\ p=2, m=3, q=5$ garnicht, oder?
Deshalb meine Frage im Eingangpost, ob ich alternativ $\ 5*8 $ untersuchen soll bzw muss. Dann wuerde ich ja zwangslaeufig die 5-sylowuntergruppen finden.
Ich hoffe es ist ein wenig klar, was ich meine.
Viele Gruesse,
ChopSuey
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moin,
ist $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $n$, so liefern dir die Sylowsätze Informationen über die $p-$Sylowuntergruppen von $G$, und zwar für alle Primzahlen $p$, die $n$ teilen.
Damit kannst du in deinem Fall die Sylowsätze sowohl für $p=2$ als auch für $p=5$ anwenden.
Allerdings wird das $n$ normalerweise vollständig faktorisiert, da man ja sowohl die Primzahlpotenz [mm] ($p^m)$ [/mm] als auch die Teiler von $q$ braucht.
In der Form [mm] $2^3*5$ [/mm] liefert dir $p=5$, $m=1$ und [mm] $q=2^3$ [/mm] das gewünschte, wenn du dich streng an die Form halten möchtest.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 02.08.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
vielen Dank. Jetzt weiss ich bescheid. Ich hab das
so auch verstanden, war aber beim Loesen
der Aufgabe noch sehr unsicher.
Danke euch.
Viele Gruesse,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Do 02.08.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
bin mir doch noch ein wenig unsicher.
In meinem Eingangspost war ja von $\ 3-$Sylowuntergruppen die Rede. Gemeint waren natürlich die $\ 2-$Sylowuntergruppen.
Nun gilt ja nach den Sätzen von Sylow dass $ s \ | \ 5 $ also $ s [mm] \in \{1,5\} [/mm] $.
Wegen $ 5 [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 5 $ gibt es nur eine $ 2-$Sylowuntergruppe von $ G$ mit der Ordnung $ 8 $. Stimmt das bis hier?
Falls dem so ist, ist es richtrig, dass aus der Anzahl $ s = 1 $ folgt, dass die $ 2-$Sylowuntergruppe ein Normalteiler ist und somit $ G $ nicht einfach sein kann?
Ich sollte mir ja die $ 5-$ Sylowuntergruppen ansehen, weiß aber noch nicht, welche Aussage ich anhand der Anzahl $ s $ der p-Sylowuntergruppen genau machen kann.
Bzw anders gefragt, warum helfen mir bei dieser Aussage (für den Fall dass meine Überlegungen erneut falsch sind) die $ 2-$Sylowuntergruppen nicht weiter?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 03.08.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Moin!
> Moin,
>
> > bin mir doch noch ein wenig unsicher.
> >
> > In meinem Eingangspost war ja von [mm]\ 3-[/mm]Sylowuntergruppen die
> > Rede. Gemeint waren natürlich die [mm]\ 2-[/mm]Sylowuntergruppen.
>
> zur Info: es gibt auch eine 3-Sylowuntergruppe von [mm]G[/mm]. Diese
> hat [mm]3^0 = 1[/mm] Element und davon gibt es genau eine. Ist also
> nicht sehr interessant  (Das gleiche gilt fuer alle
> weiteren Primteiler [mm]\neq 2, 5[/mm]...)
>
> > Nun gilt ja nach den Sätzen von Sylow dass [mm]s \ | \ 5[/mm] also
> > [mm]s \in \{1,5\} [/mm].
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Wegen [mm]5 \not\equiv 1 \mod 5[/mm] gibt es nur eine
> > [mm]2-[/mm]Sylowuntergruppe von [mm]G[/mm] mit der Ordnung [mm]8 [/mm]. Stimmt das bis
> > hier?
>
> Nein. Es muesste [mm]5 \not\equiv 1 \pmod{2}[/mm] gelten, und nicht
> [mm]5 \not\equiv 1 \pmod{5}[/mm]. Da jedoch [mm]5 \equiv 1 \pmod{2}[/mm] gilt
> kannst du (erstmal) keine weiteren Aussagen ueber die
> Anzahl der 2-Sylow-Untergruppen treffen.
Ah, richtig. Da $ s [mm] \in \{1,5\}$ [/mm] aber sowohl $ 1 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 2 $ als auch $ 5 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 2 $ gilt, kann ich also keine Aussage über die 2-Sylowuntergruppen machen.
Das bringt mich dann zu den $ 5-$Sylowuntergruppen.
Aus $ s | 8 $ folgt $ s [mm] \in \{1,2,4,8\} [/mm] $ aber da nur $ 1 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 5 $ gilt, gibt es nur eine $ 5-$Sylowuntergruppe von $ G $.
Also ist die gefundene $ 5-$Sylowuntergruppe ein Normalteiler und $ G $ nicht einfach. Stimmt das ?
Vorausgesetzt ich hätte weitere $p-$Sylowuntergruppen gefunden, zB zwei $ 3-$Sylowuntergruppen (bei einer anderen Ordnung) und wie in diesem Fall bloß eine $ 5-$Sylowuntergruppe.
Welche Aussage kann ich dann treffen? Entscheidend ist/sind die $p-$Sylowuntergruppen, von denen es nur eine gibt, da diese dann Normalteiler sind?
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin was den Zusammenhang von $ G $ einfach und den $ p-$Sylowuntergruppen betrifft.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> LG Felix
>
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 03.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Wegen [mm]5 \not\equiv 1 \mod 5[/mm] gibt es nur eine
> > > [mm]2-[/mm]Sylowuntergruppe von [mm]G[/mm] mit der Ordnung [mm]8 [/mm]. Stimmt das bis
> > > hier?
> >
> > Nein. Es muesste [mm]5 \not\equiv 1 \pmod{2}[/mm] gelten, und nicht
> > [mm]5 \not\equiv 1 \pmod{5}[/mm]. Da jedoch [mm]5 \equiv 1 \pmod{2}[/mm] gilt
> > kannst du (erstmal) keine weiteren Aussagen ueber die
> > Anzahl der 2-Sylow-Untergruppen treffen.
>
> Ah, richtig. Da [mm]s \in \{1,5\}[/mm] aber sowohl [mm]1 \equiv 1 \mod 2[/mm]
> als auch [mm]5 \equiv 1 \mod 2[/mm] gilt, kann ich also keine
> Aussage über die 2-Sylowuntergruppen machen.
Genau.
> Das bringt mich dann zu den [mm]5-[/mm]Sylowuntergruppen.
>
> Aus [mm]s | 8[/mm] folgt [mm]s \in \{1,2,4,8\}[/mm] aber da nur [mm]1 \equiv 1 \mod 5[/mm]
> gilt, gibt es nur eine [mm]5-[/mm]Sylowuntergruppe von [mm]G [/mm].
>
>
> Also ist die gefundene [mm]5-[/mm]Sylowuntergruppe ein Normalteiler
> und [mm]G[/mm] nicht einfach. Stimmt das ?
Ja, das stimmt.
> Vorausgesetzt ich hätte weitere [mm]p-[/mm]Sylowuntergruppen
> gefunden, zB zwei [mm]3-[/mm]Sylowuntergruppen (bei einer anderen
> Ordnung) und wie in diesem Fall bloß eine
> [mm]5-[/mm]Sylowuntergruppe.
>
> Welche Aussage kann ich dann treffen? Entscheidend ist/sind
> die [mm]p-[/mm]Sylowuntergruppen, von denen es nur eine gibt, da
> diese dann Normalteiler sind?
Dann ist die Gruppe immer noch nicht einfach, da die 5-Sylowuntergruppe ein Normalteiler ist.
Wenn du allerdings zu keiner Primzahl $p$ die die Gruppenordnung teilt genau eine $p$-Sylowuntergruppe finden kannst, dann kannst du erstmal gar nichts aussagen. Moeglicherweise ist die Gruppe einfach, sie muss es jedoch nicht sein. Manchmal muss man mit mehreren Primzahlen gleichzeitig argumentieren (etwa: wenn es wirklich 5 $p$-Sylow-Untergruppen und 7 $q$-Sylowuntergruppen gibt, dann ... und man hat einen Widersprich), etwa indem man Elemente mit gewissen Ordnungen zaehlt.
> Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich auf dem
> richtigen Weg bin was den Zusammenhang von [mm]G[/mm] einfach und
> den [mm]p-[/mm]Sylowuntergruppen betrifft.
$p$-Sylowuntergruppen koennen Normalteiler sein. Deswegen sind sie oft hilfreich um zu zeigen, das eine Gruppe nicht einfach sind.
Man kann es aber auch anders nachweisen (z.B. wenn man zeigen will, dass [mm] $A_n$ [/mm] einfach ist fuer $n [mm] \ge [/mm] 5$), oder muss es bei manchen Gruppen sogar (vermute ich mal, ein konkretes Beispiel kenne ich nicht und ich mag grad nicht suchen :) ).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Fr 03.08.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Felix,
vielen Dank ! Unter Umständen gibt es nochmal Rückfragen, für's Erste hab ich es allerdings verstanden.
Danke auch an Schadow und teo.
Viele Grüße
ChopSuey
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moin,
Wenn du - für die ursprüngliche Aufgabe - einen Normalteiler finden möchtest wäre es ratsamer, dir die 5-SylowUG anzugucken.
Die Anzahl muss nämlich kongruent zu 1 modulo 5 sein und ein Teiler von 8, davon gibt es nicht ganz so viele.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Fr 03.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wenn du - für die ursprüngliche Aufgabe - einen
> Normalteiler finden möchtest wäre es ratsamer, dir die
> 5-SylowUG anzugucken.
> Die Anzahl muss nämlich kongruent zu 1 modulo 5 sein und
> ein Teiler von 8, davon gibt es nicht ganz so viele.
noch etwas allgemeiner: es lohnt sich nie, (nur) die 2-Sylow-Untergruppen anzuschauen. Ueber deren Anzahl kann man nur etwas aussagen, wenn a) die Gruppenordnung eine Zweirpotenz ist oder b) die Gruppe abelsch ist. In allen anderen Faellen gibt es mehr als eine Moeglichkeit fuer die Anzahl der 2-Sylow-Untergruppen (zumindest falls du nur die Sylow-Saetze und andere elementare Resultate verwenden willst).
LG Felix
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