Kegelstumpf als Becher < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man stelle sich einen Kegelstumpf als Becher vor.
Er wird mit seiner Deckfläche nach unten aufgestellt.
Wenn man 0,4 liter Wasser in den Becher einfüllt, wie hoch steht das Wasser im Becher? Bei wieviel centimeter der Mantellinie müsste man einen Strich setzen, um den Wasserstand bei 0,4 liter zu markieren?
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r (Radius der Deckfläche), R (Radius der Grundfläche), h (Höhe des gesamten Stumpfes [Becher]), Gesamtvolumen des Kegelstumpfes (Becher)
sind alle gegeben.
Welche Ansätze gibt es?
Das Niveau sollte 10. Klasse Realschule sein, also kommen Rotationskörper, Integrale, etc. nicht in Frage.
Wenn man weiss wie Hoch das Wasser bei 0,4l steht, könnte man anhand eines Koordinatensystems in Erfahrung bringen, wo die Markierung auf dem Mantel zu setzen ist. Das erscheint mir aber als sehr umständlich, gibt es keinen direkten (einfachen) Weg, zu einem Ergebniss zu kommen? (Formel?)
Vielen Dank schon jetzt :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 03.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Man stelle sich einen Kegelstumpf als Becher vor.
> Er wird mit seiner Deckfläche nach unten aufgestellt.
> Wenn man 0,4 liter Wasser in den Becher einfüllt, wie hoch
> steht das Wasser im Becher? Bei wieviel centimeter der
> Mantellinie müsste man einen Strich setzen, um den
> Wasserstand bei 0,4 liter zu markieren?
>
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> r (Radius der Deckfläche), R (Radius der Grundfläche), h
> (Höhe des gesamten Stumpfes [Becher]), Gesamtvolumen des
> Kegelstumpfes (Becher)
> sind alle gegeben.
>
> Welche Ansätze gibt es?
Hallo,
da kommen wohl nur Ähnlichkeit bzw. Strahlensatz in Frage. Der Kegelstumpf entsteht, wenn von einem Kegel die zu ihm selbst ähnliche Spitze abgeschnitten wird.
Nehmen wir mal an, die abgeschnittene Spitze hat die Höhe x.
Dann gilt die Verhältnisgleichheit x:r=(x+h):R. Wenn man daraus eine Produktgleichung macht und nach x auflöst, braucht man x nicht, weil man x durch r, R und h ausdrüchen kann.
Das Volumen der Spitze verhält sich zum Volumen des Ausgangskegels wie [mm] r^3 [/mm] zu [mm] R^3 [/mm] bzw. wie [mm] x^3 [/mm] zu [mm] (x+h)^3
[/mm]
Die Spitze plus 0,4 Liter ergibt ein neues Volumen mit einem neuen Grundkreisradius und einer neuen Höhe. Von dort ist es nicht weit zur Teilhöhe des Wasserstands.
Viele Grüße
Abakus
> Das Niveau sollte 10. Klasse Realschule sein, also kommen
> Rotationskörper, Integrale, etc. nicht in Frage.
> Wenn man weiss wie Hoch das Wasser bei 0,4l steht, könnte
> man anhand eines Koordinatensystems in Erfahrung bringen,
> wo die Markierung auf dem Mantel zu setzen ist. Das
> erscheint mir aber als sehr umständlich, gibt es keinen
> direkten (einfachen) Weg, zu einem Ergebniss zu kommen?
> (Formel?)
>
> Vielen Dank schon jetzt :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Das mit dem Strahlensatz versteh ich nicht ganz, könntest du mir da mit einem konkreten Rechenansatz Starthilfe geben?
(Als Daten nehme man:
r= 4,37019cm
R= 2,4004cm
Vges= 0,9 l
h= 10cm)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mo 03.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Das mit dem Strahlensatz versteh ich nicht ganz, könntest
> du mir da mit einem konkreten Rechenansatz Starthilfe
> geben?
> (Als Daten nehme man:
> r= 4,37019cm
> R= 2,4004cm
> Vges= 0,9 l
> h= 10cm)
Es geht einfach darum, dass der Ausgangskörper und die abgeschnittene Spitze ähnlich sind.
Damit ist das Verhältnis der beiden Grundkreisradien zueinander genau so wie das Verhältnis der beiden Höhen.
Also
x:(x+h)=r:R, umgestellt x*R=r(x+h) bzw. xR=xr+rh,
xR-xr=rh
x(R-r)=rh
[mm] x=\bruch{rh}{R-r}
[/mm]
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