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Hallo,
ich möchte auf dieses Thema Bezug nehmen: wie komme ich von der Kegelschnittgleichung auf die Gleichung für Ellipsen in allgemeiner Lage (Hauptform)?
Gegeben sei eine Menge von Punkten, die sich auf dem Bogen einer Ellipse befinden. Mit diesen Punkten sollen der Mittelpunkt [mm](x_0, y_0)[/mm] und die Halbachsen a und b der Ellipse ermittelt werden.
Meine Frage: wenn ich jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstelle, um die vier Unbekannten zu ermitteln, nutze ich dann die Ellipsengleichung oder die Kegelschnittgleichung? Wie komme ich von der Kegelschnittgleichung [mm]ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0[/mm] auf meine Unbekannten [mm](x_0, y_0)[/mm], a und b?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Sa 18.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> ich möchte auf dieses Thema
> Bezug nehmen: wie komme ich von der Kegelschnittgleichung
> auf die Gleichung für Ellipsen in allgemeiner Lage
> (Hauptform)?
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> Gegeben sei eine Menge von Punkten, die sich auf dem Bogen
> einer Ellipse befinden. Mit diesen Punkten sollen der
> Mittelpunkt [mm](x_0, y_0)[/mm] und die Halbachsen a und b der
> Ellipse ermittelt werden.
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> Meine Frage: wenn ich jetzt ein lineares Gleichungssystem
> aufstelle, um die vier Unbekannten zu ermitteln, nutze ich
> dann die Ellipsengleichung oder die Kegelschnittgleichung?
> Wie komme ich von der Kegelschnittgleichung [mm]ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0[/mm]
> auf meine Unbekannten [mm](x_0, y_0)[/mm], a und b?
Da fehlt noch ein Parameter, nämlich der Winkel zwischen den Hauptachsen der Ellipse und den Koordinatenachsen. Nur für $B=0$ beschreibt [mm]Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0[/mm] eine Ellipse, deren Hauptachsen in x- und y-Richtung liegen.
Ich beschränke mich zunächst auf diesen Fall. Zunächst sammelst du die Variablen zusammen:
[mm] A\left(x^2+2\bruch{D}{A}x\right) + C \left(y^2+2\bruch{E}{C}y\right) = -F [/mm] ,
dann machst du zweimal quadratische Ergänzung, um vollständige Binome zu bekommen:
[mm] A\left(x^2+2\bruch{D}{A}x+\bruch{D^2}{A^2}\right) + C \left(y^2+2\bruch{E}{C}y+\bruch{E^2}{C^2}\right) = \bruch{D^2}{A^2}+\bruch{E^2}{C^2} - F [/mm]
Daraus siehst du schon, dass [mm] $x_0 [/mm] = [mm] -\bruch{D}{A}$ [/mm] und [mm] $y_0 [/mm] = [mm] -\bruch{E}{C}$ [/mm] gilt. Wenn du jetzt noch durch die rechte Seite [mm] $x_0^2+y_0^2-F$ [/mm] dividierst, hast du
[mm] \bruch{A}{x_0^2+y_0^2-F} (x-x_0)^2 + \bruch{C}{x_0^2+y_0^2-F}(y-y_0)^2 = 1 [/mm]
und damit
[mm] a^2 = \bruch{x_0^2+y_0^2-F}{A} [/mm] , [mm] b^2 = \bruch{x_0^2+y_0^2-F}{C} [/mm] .
Das gilt natürlich nur, wenn die beiden Brüche positiv sind. Andernfalls ist es keine Ellipse.
Bleibt noch der Fall der gedrehten Ellipse [mm] $B\not=0$. [/mm] Hier musst du zunächst dein Koordinatensystem drehen:
(*) [mm] x = x' \cos\phi + y' \sin\phi [/mm], [mm] y = -x' \sin\phi +y'\cos\phi [/mm] ,
wobei du [mm] \phi [/mm] so bestimmen musst, dass in der Gleichung der gedrehten Ellipse
[mm]A'x'^2 + Bx'y' + C'y'^2 +D'x'+E'y'+F'= 0 [/mm]
die Bedingung $B'=0$ gilt. Einsetzen von (*) in die ursprüngliche Kegelschnittgleichung ergibt
[mm] B' = 2(A-C) \sin\phi \cos\phi +B (\cos^2\phi - \sin^2\phi) = (A-C) \sin 2\phi + B \cos 2\phi [/mm],
und daher bestimmst du den Winkel zwischen Ellispenachsen und Koordinatenachsen über
[mm] \tan 2\phi = \bruch{B}{C-A} [/mm] .
Als Ergebnis bekommst du einen Winkel im Interval [mm] $[-\pi/4,+\pi/4]$. [/mm] Das entspricht der Anschauung: egal, wie die Ellispe liegt, nach Drehung um einen Winkel, der kleiner als [mm] $45^\circ$ [/mm] ist, liegen die Hauptachsne parallel zu den Koordinatenachsen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke erst einmal für deine Antwort. Soweit ich weiß, muss [mm]A * B > 0[/mm] und [mm]A \not= B[/mm] sein, damit es sich bei einem Kegelschnitt um eine Ellipse handelt. Warum beschreibt die Kegelschnittgleichung dann nur für [mm]B = 0[/mm] eine Ellipse, deren Hauptachsen in x- und y-Richtung liegen?
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Hallo DrRobotnik,
> Hallo Rainer,
>
> danke erst einmal für deine Antwort. Soweit ich weiß,
> muss [mm]A * B > 0[/mm] und [mm]A \not= B[/mm] sein, damit es sich bei einem
> Kegelschnitt um eine Ellipse handelt. Warum beschreibt die
> Kegelschnittgleichung dann nur für [mm]B = 0[/mm] eine Ellipse,
> deren Hauptachsen in x- und y-Richtung liegen?
Mein Vorredner hat hier den Koeffizienten des gemischtquadratrischen Gliedes [mm]xy[/mm] mit 2B bezeichnet, während Du den Koeffizienten des
quadratischen Gliedes [mm]y^{2}[/mm] mit B bezeichnet hast.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 18.09.2010 | | Autor: | DrRobotnik |
Da habe ich beim Lesen wohl nicht aufgepasst. Vielen Dank euch beiden.
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