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| Aufgabe | Die Gleichung [mm] 4*x^2+5*y^2+8*x-20*y+4=0 [/mm] beschreibt eine Ellipse mit einem aus dem Ursprung O(0/0) verschobenen Mittelpunkt.
a) Geben Sie den Mittelpunkt und die Halbachsen der Ellipse an
b) Ermitteln Sie den Brennpunktabstand
c) Ermitteln Sie die numerische Exzentrizität und errechnen Sie den Abstand der Leitlinie vom Scheitel der Ellipse |
Guten Abend,
wäre super, wenn sich jemand mal meine Lösung der Aufgabe ansehen und korrigieren könnte. Danke schonmal.
a) [mm] 4*x^2+8*x+5*y^2-20*y=-4
[/mm]
bzw.: [mm] 4(x^2+2*x)+5(y^2-4*y)=-4
[/mm]
quadratisch ergänzen: [mm] 4(x^2+2*x+1^2)+5(y^2-4*y+2^2)=(-4)+4*1^2+5*2^2=28
[/mm]
Rückformung zu bin.Formel:
[mm] \bruch{4*(x+1)^2}{28}+\bruch{5*(y-2)^2}{28}=1
[/mm]
Bruch kürzen:
[mm] \bruch{(x+1)^2}{7}+\bruch{(y-2)^2}{5,6}=1
[/mm]
weiter damit:
[mm] \bruch{(x+1)^2}{\wurzel{7}^2}+\bruch{(y-2)^2}{\wurzel{5,6}^2}=1
[/mm]
somit: [mm] a=\wurzel{7} [/mm]
[mm] b=\wurzel{5,6}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Hyp.M (-1/2)
Halbachsen: y=2 und x=-1
(Drehwinkel = 0 ermittelt)
b) Brennpunktabstand: [mm] e^2=\wurzel{7}^2-\wurzel{5,6}^2 \Rightarrow e=\wurzel{\bruch{7}{5}}
[/mm]
c) numerische Exzen.: [mm] \varepsilon=(\wurzel{7/5})/(\wurzel{7}) [/mm] = [mm] \wurzel{5/5}
[/mm]
Leitlinienabstand: [mm] d=\bruch{7}{\wurzel{\bruch{7}{5}}}=\wurzel{35}
[/mm]
Abstand vom Scheitel: [mm] d-a=\wurzel{35}-\wurzel{7}=3,27
[/mm]
Was für ein Quelltext... :)
Gruß und schönen Abend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider gleich am Anfang ein Fehler:
$ [mm] 4(x^2+2\cdot{}x+1^2)+5(y^2-4\cdot{}y+2^2)=(-4)+4\cdot{}1^2+5\cdot{}2^2=28 [/mm] $
richtig :
$ [mm] 4(x^2+2\cdot{}x+1^2)+5(y^2-4\cdot{}y+2^2)=(-4)+4\cdot{}1^2+5\cdot{}2^2=20 [/mm] $
Halbachsen: y=2 und x=-1
hier hast du die Verschiebung nicht die Achsen, bei deinen (falschen) Ergebnissen wäre
Halbachse in x Richtung [mm] a=\wurzel{7} b=\wurzel{5.6} [/mm]
Der rest ist dann leider alles folgefalsch, das Vorgehen aber richtig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
oh noooo :)
da hat mich mein taschenrechner und mein hirn getäsucht. aber ok, dann wird der rest soweit passen. vielen dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 10.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein guter Rat: -4+4+4*5 sollte man nicht mit nem TR rechnen!
Gruss leduart
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