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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:05 Di 06.05.2008 | | Autor: | Aristoteles |
| Aufgabe | Ein eiförmiger Drehkörper besteht aus dem Paraboloid [mm] y^2=4x [/mm] (Länge h) mit daran rechts angeschlossener Halbkugel, deren Basiskreis mit dem des Paraboloids übereinstimmt.
a)Bestimme die Gleichung des Kreises, der die Halbkugel erzeugt.
b)Erstelle eine Formel für den Rauminhalt des gesamten Drehkörpers.
c)Für welchen Wert von h haben beide Körperteile gleiches Volumen ?
d)Ein großer Körper dieser Gestalt soll 100 Liter fassen. Wie groß ist die Gesamtlänge des Körpers ? |
hallo!
ich sitz jetzt ca. schon eine halbe stunde da und habe keinen schimmer wie ich anfangen sollte.
vielleicht könnt ihr mir auf die sprüunge helfen...grundsätzlich kann ja dieses beispiel gar nicht mal so schwer sein^^
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Hallo,
> Ein eiförmiger Drehkörper besteht aus dem Paraboloid [mm]y^2=4x[/mm]
> (Länge h) mit daran rechts angeschlossener Halbkugel, deren
> Basiskreis mit dem des Paraboloids übereinstimmt.
>
> a)Bestimme die Gleichung des Kreises, der die Halbkugel
> erzeugt.
> b)Erstelle eine Formel für den Rauminhalt des gesamten
> Drehkörpers.
> c)Für welchen Wert von h haben beide Körperteile gleiches
> Volumen ?
> d)Ein großer Körper dieser Gestalt soll 100 Liter fassen.
> Wie groß ist die Gesamtlänge des Körpers ?
> hallo!
>
> ich sitz jetzt ca. schon eine halbe stunde da und habe
> keinen schimmer wie ich anfangen sollte.
>
> vielleicht könnt ihr mir auf die sprüunge
> helfen...grundsätzlich kann ja dieses beispiel gar nicht
> mal so schwer sein^^
zu a) Kreisgleichung: [mm] $y^2+(x-x_M)^2=4x_M$ [/mm] , wobei [mm] x_M [/mm] der Kreismittelpunkt ist.
zu b) Rauminhalt des Drehkörpers:
[mm] $V_x=\pi* \integral_{0}^{x_M}4x \;dx [/mm] + [mm] \pi* \integral_{x_M}^{x_M+\wurzel{4x_M}}4x_M-(x-x_M)^2\;dx$
[/mm]
LG, Martinius
P.S. Ach, entschuldige, in der 9. Klasse habt ihr ja noch gar keine Integralrechnung. Elementargeometrisch ist b) dann:
zu b) Rauminhalt des Drehkörpers:
[mm] $V_x [/mm] = [mm] 2*\pi*x_M^2 +\bruch{2}{3}*\pi*\left(\wurzel{4*x_M} \right)^3$
[/mm]
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was meint man eigentlich mit "h" ...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Di 06.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Aristoteles,
es steht ja in deiner Aufgabe: h ist die Höhe des Kreiskegels (wenn man ihn um 90° dreht) - also ist h gleich [mm] x_M [/mm] in meinem vorherigen post.
LG, Martinius
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oh mein gott...ich blicke echt nicht mehr durch...
h liegt auf der x achse odeR?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Di 06.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ja, h liegt auf der x-Achse. es ist die Höhe des Rotationsparaboloides, welche vom Ursprung x=0 bis zu x=h reicht.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
c) gleiches Volumen beider Rotationskörper:
[mm] $2x_M^2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\left(\wurzel{4*x_M}\right)^3$
[/mm]
[mm] $4x_M^4 [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}\left(4*x_M\right)^3$
[/mm]
[mm] x_M [/mm] = [mm] \bruch{64}{9} [/mm]
[mm] x_{M,(2,3,4)} [/mm] = 0
d) 100 Liter Rauminhalt für den gesamten Rotationskörper:
[mm] $2*\pi*x_M^2+\bruch{2}{3}*\pi*\left(\wurzel{4x_M}\right)^3-100=0$
[/mm]
per Computer: [mm] x_M [/mm] = 2,42181316717 dm
oder quadriert (was eine zusätzliche Lösung erzeugt, die keine Lösung der Ursprungsgleichung ist):
[mm] $x_M^4-\bruch{64}{9}*x_M^3-\bruch{100}{\pi}*x_M^2+\bruch{2500}{\pi^2}=0$
[/mm]
LG, Martinius
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