Kegel, Zylinder u. Kugel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 31.03.2008 | | Autor: | hm01 |
| Aufgabe | Eine kugel, ein zylinder und ein Kegel haben denselben Radius. Bestimme die Höhe des Zylinders und des Kegels so, dass alle drei Körper
a) das gleiche Volumen haben.
b) den gleichen Oberflächeninhalt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Bei a) habe ich mir gedacht:
VKugel= 4/3 * r³* [mm] \pi
[/mm]
VZylinder= [mm] r²*\pi*h
[/mm]
VKegel= [mm] 1/3*r²*\pi*h
[/mm]
Also sollte eigentlich VZylinder=3*VKegel sein.
Ich habe mir überlegt, ob man nicht sagen könnte, dass
VKugel = 2(VZylinder - VKegel) ist, aber das führt dann nur zu diesem Ergebnis:
VKugel = [mm] 2(2/3*r²*\pi*h).
[/mm]
Aber das kann ja nicht richtig sein. Wenn man Zahlen einsetzt und rumprobiert, muss eigentlich V Kugel = 3*V Zylinder sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Eine kugel, ein zylinder und ein Kegel haben denselben
> Radius. Bestimme die Höhe des Zylinders und des Kegels so,
> dass alle drei Körper
>
> a) das gleiche Volumen haben.
> b) den gleichen Oberflächeninhalt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Bei a) habe ich mir gedacht:
>
> VKugel= 4/3 * r³* [mm]\pi[/mm]
> VZylinder= [mm]r²*\pi*h[/mm]
> VKegel= [mm]1/3*r²*\pi*h[/mm]
>
> Also sollte eigentlich VZylinder=3*VKegel sein.
richtig, bei gleichem Radius!
>
> Ich habe mir überlegt, ob man nicht sagen könnte, dass
>
> VKugel = 2(VZylinder - VKegel) ist, aber das führt dann nur
> zu diesem Ergebnis:
>
> VKugel = [mm]2(2/3*r²*\pi*h).[/mm]
>
> Aber das kann ja nicht richtig sein. Wenn man Zahlen
> einsetzt und rumprobiert, muss eigentlich V Kugel = 3*V
> Zylinder sein.
In der Kugel hast du doch nur r, was hast du denn bei deiner Betrachtung für h von Kegel und Zylinder eingesetzt?
Wenn du alle 3 Körper gleich groß machst wäre h=2r und damit [mm] VZyl=2r^3
[/mm]
[mm] *\pi VKegel=2/3*r^3*\pi
[/mm]
und damit dann wirklich VKugel=Vzyl-VKegel ( schon Archimedes wusste das, die Figur soll auf seinem Grabstein sein!) Wenn man aus nem Zylinder nen Kegel rausbohrt, bleibt wirklich das richtige volumen übrig, wenn du die K
Aber das ist ja gar nicht die gestellte Aufgabe, da sollst du h so bestimmen , dass die Volumina gleich sind, und d.h. ja nur einfach h ausrechnen (als Vielfaches von r)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 31.03.2008 | | Autor: | hm01 |
Ok. Nur mich wunderts, wie man jetzt genau rechnerisch auf h=2r kommt. Kommt das von
[mm] 2/3r³*\pi [/mm] = [mm] 4/3*r³*\pi [/mm] ?
Also das sich [mm] \pi [/mm] und r³ wegkürzt und damit nur noch 2/3 und 4/3 übrig bleibt, und 6/3 = 2 ist?
Das mit dem Kegel rausbohren ist klar, auch das da dann [mm] 2/3r³*\pi [/mm] rauskommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 31.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja eine Kugel mit dem Radius r gegeben, also kannst du das Volumen V ja mit [mm] V=\bruch{4\pi}{3}r^{3} [/mm] bestimmen.
Das soll identisch mit einem Zylindervolumen sein, dessen Radius r derselbe wie der Kugelradius ist, und dessen höhe h du noch bestimmen musst, dass die Volumina identisch sind.
Für das Zylindervolumen gilt: [mm] V=\pi*r²*h
[/mm]
Also, da sie gleich sein sollen:
[mm] \bruch{4\pi}{3}r^{3}=\pi*r²*h
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4\pi*r³}{\pi*r²*3}=h
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4r}{3}=h
[/mm]
Genauso machst du das jetzt mit dem Volumen der Kugel und des Kegels
[mm] \underbrace{\bruch{4\pi*r³}{3}}_{V_{Kugel}}=\underbrace{\bruch{\pi*r²*h}{3}}_{V_{Kegel}}
[/mm]
und mit den Oberflächen:
[mm] \underbrace{4\pi*r²}_{O_{Kugel}}=\underbrace{2\pi*r(r+h)}_{O_{Zylinder}}
[/mm]
und
[mm] \underbrace{4\pi*r²}_{O_{Kugel}}=\underbrace{\pi*r²+\pi*r*s}_{O_{Kegel}} [/mm]
(Hierbei gilt: [mm] s=\wurzel{r²+h²})
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Di 01.04.2008 | | Autor: | hm01 |
Hallo,
das hat mir schon mal geholfen. Ich habe für beide das Volumen [mm] \bruch{4*r}{3} [/mm] was also heißt, das h= [mm] \bruch{4*r}{3} [/mm] sein muss.
Bei dem Oberflächeninhalt komme ich beim Gleichsetzen von Kugel und Zylinder auf dieses Zwischenergebnis:
[mm] \bruch{4*\pi*r²}{2*\pi*r} [/mm] = h+r
Würde ich kürzen käme am Ende jedoch 2r=h+r heraus, was ja nicht sein kann, dann müsste ja h=2 sein. Da muss ich wohl irgendwo einen Rechenfehler drin haben.
Bei dem mit Kugel und Kegel komme ich auf
[mm] 4*r²*\pi-\pi*r²=\pi*r*\wurzel{r²+h²}
[/mm]
...
[mm] \bruch{\pi*r²*(4-1)}{\pi*r}=\wurzel{r²+h²}
[/mm]
[mm] \bruch{3*\pi*r²}{\pi*r} [/mm] = [mm] \wurzel{r²+h²}
[/mm]
[mm] 3=\wurzel{r²+h²}
[/mm]
Das kann ja auch irgendwie nicht sein.
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Hallo hm01,
> Hallo,
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> das hat mir schon mal geholfen. Ich habe für beide das
> Volumen [mm]\bruch{4*r}{3}[/mm] was also heißt, das h=
> [mm]\bruch{4*r}{3}[/mm] sein muss.
>
>
> Bei dem Oberflächeninhalt komme ich beim Gleichsetzen von
> Kugel und Zylinder auf dieses Zwischenergebnis:
>
> [mm]\bruch{4*\pi*r²}{2*\pi*r}[/mm] = h+r
>
> Würde ich kürzen käme am Ende jedoch 2r=h+r heraus, was ja
> nicht sein kann, dann müsste ja h=2 sein. Da muss ich wohl
> irgendwo einen Rechenfehler drin haben.
Hier hast Du das r auf der linken Seite unterschlagen:
[mm]\bruch{4*\pi*r²}{2*\pi*r} = h+r[/mm]
[mm]\gdw 2*\red{r}=h+r[/mm]
>
> Bei dem mit Kugel und Kegel komme ich auf
>
> [mm]4*r²*\pi-\pi*r²=\pi*r*\wurzel{r²+h²}[/mm]
> ...
> [mm]\bruch{\pi*r²*(4-1)}{\pi*r}=\wurzel{r²+h²}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3*\pi*r²}{\pi*r}[/mm] = [mm]\wurzel{r²+h²}[/mm]
>
> [mm]3=\wurzel{r²+h²}[/mm]
>
> Das kann ja auch irgendwie nicht sein.
Genauso so hier:
[mm]\bruch{3*\pi*r²}{\pi*r}[/mm] = [mm]\wurzel{r²+h²}[/mm]
[mm]\gdw 3*\red{r}=\wurzel{r²+h²}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 01.04.2008 | | Autor: | hm01 |
Ups. Nur bei $ [mm] \gdw 3\cdot{}\red{r}=\wurzel{r²+h²} [/mm] $ dem würde ich sagen, müsste man noch eigentlich weiterauflösen nach h. Aber das geht ja eigentlich nicht.
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Hallo hm01,
> Ups. Nur bei [mm]\gdw 3\cdot{}\red{r}=\wurzel{r²+h²}[/mm] dem würde
> ich sagen, müsste man noch eigentlich weiterauflösen nach
> h. Aber das geht ja eigentlich nicht.
Doch das geht.
Quadriere beide Seiten der Gleichung und löse dann nach h auf.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Di 01.04.2008 | | Autor: | hm01 |
Also ist das Endergebnis:
[mm] \wurzel{3²*r²-r²}
[/mm]
Danke für die Hilfe.
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