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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Sa 15.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Betrachte den Kegel $ [mm] K=\{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2=0\} [/mm] $ und eine affine Isometrie $ [mm] \phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \phi(x,y)^T [/mm] = [mm] A(x,y)^T+b, [/mm] $ wobei $ [mm] A\in M_{3\times 2} (\mathbb{R}), [/mm] $ $ [mm] A^{\*}A [/mm] = [mm] I_2, [/mm] $ und $ [mm] b\in \mathbb{R}^3. [/mm] $ Zeige, dass $ [mm] \phi^{-1}(K) [/mm] $ eine Quadrik ist. Welche Quadriken in $ [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] $ lassen sich in dieser Form darstellen, für eine geeignete Isometrie $ [mm] \phi [/mm] $? |
Hallo
Eine Quadrik ist die Nullestellenmenge einer quadratischen Funktion.
Wobei wir unter einer quadratischen Funktion die Funktion, $ Q: V [mm] \to \mathbb{K}, [/mm] $ die sich in der Form $ Q(v) = q(v) + l(v) + c $
schreiben lasst, wobei $ c [mm] \in \mathbb{K}, [/mm] l [mm] \in V^{\cdot{}} [/mm] $ verstehen.
Ich suche eine quadratische Funktion, dessen Nullstellenmenge [mm] \phi^{-1}(K) [/mm] ist.
[mm] K=\{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2=0\} [/mm] ist ein Doppelkegel im [mm] \IR^3 [/mm] mit Spitze 0.
Ich scheitere leider schon dabei zuzeigen dass der Kegel eine Nullstellenmenge einer quadratischen Funktion ist...
Ich brauch dirngend hilfe bei dem Bsp ;)
Würd mich sehr freuen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(y,x,z)=x^2+y^2-z^2 [/mm] ist doch eine quadratische fkt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 15.12.2012 | | Autor: | sissile |
Das hat also nur einen quadratischen Teil?
Wie mach ich das aber mit der inversen abbildung von [mm] \phi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst z.B [mm] \Phi [/mm] eine Projektion auf eine Ebene nehmen, was ist dann das mit k geschnitten? schon mal was von Kegelschnitten gehört?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:54 Mo 17.12.2012 | | Autor: | sissile |
q : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] q(x)= [mm] x^t [/mm] Q x
wobei Q= diag(1,1,-1)
(q [mm] \circ \phi) [/mm] (x)= [mm] (Ax+b)^t [/mm] Q (Ax+b)= [mm] x^t A^t [/mm] Q Ax + [mm] b^t [/mm] Q A x + [mm] x^t A^t [/mm] Q b + [mm] b^t [/mm] Q b
Urbild von quadratischen Funktionen ist wieder eine quadratische Funktion.
Ein anderer Versuch war
[mm] (a_{11} [/mm] x + [mm] a_{12} [/mm] y [mm] +b_1)^2 +(a_{21} [/mm] x + [mm] a_{22} [/mm] y [mm] +b_2)^2 -(a_{31} [/mm] x + [mm] a_{32} [/mm] y [mm] +b_1)^2
[/mm]
auszumultiplizieren.
Wobei ich terme mit [mm] x^2, y^2, [/mm] x, xy, y, und [mm] b_1^2 [/mm] + [mm] b_2^2 [/mm] - [mm] b_3^2 [/mm] bekomme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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