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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:57 Di 09.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi, Leute!
Ich zerbreche mir hierüber schon länger den Kopf:
Es startet eine Maus bei M(0|0) und rennt geradewegs nach rechts (die x-Achse entlang) mit einer konstanten Geschwindigkeit.
Bei K(0|10) startet eine Katze, die zu jedem Zeitpunkt zur Maus rennt (mit einer höheren Geschwindigkeit, sonst würde sie die Maus ja nie kriegen).
Die Aufgabe habe ich nur mal irgendwo gelesen und auch etwas anders wiedergegeben, aber das Prinzip ist das selbe.
Ich suche jetzt die Ortskurve der Katze sozusagen.
Von der bloßen Optik her, müsste es wie eine Art Parabel aussehen, also z.B. die Gleichung [mm] f(x)=10-a*\wurzel{x} [/mm] haben, was aber sicher nicht stimmt (wobei sich dann mit a bestimmen lässt, wo die Maus z.B. gefangen wird).
Mann kann sich den Sachverhalt natürlich auch gerne drehen und die Maus nach oben laufen lassen. Dann würde die Kurve wohl ca. wie g(x)=a(x+10)² verlaufen.
Ich würde sagen, dass also eine Randbedingung ist, dass die Katze zum Zeitpunkt 0 direkt nach "unten" bzw. in der gedrehten Version nach rechts rennt.
Aber viel weiter komme ich dennoch nicht.
Habe mir nur noch folgendes überlegt: Ich betrachte mal die gedrehte Version (Maus rennt nach oben).
Wenn ich die Tangentenschar an der gesuchten Kurve betrachte, dann müssen die y-Koordinaten der Schnittpunkte der Tangenten mit der y-Achse linear ansteigen (da die Maus immer gleich schnell rennt und die Tangente sozusagen der "Blick" der Katze auf die Maus ist, der sich halt linear nach oben bewegt).
Für einen Punkt P(a|f(a)) gilt ja dann: [mm] y_s=f'(a)(0-a)+f(a)=f(a)-a*f'(a)
[/mm]
Könnte man jetzt einfach festlegen (wenn man die Gleichung mit x füllt): f(x)-x*f'(x)=mx? Oder ist da ein Denkfehler bei?
Und wenn es stimmen würde, müsste man das natürlich noch nach f(x) auflösen, wa aber leider nicht in meiner Macht liegt.
Wie auch immer: Wisst ihr da weiter?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hallo Teufel,
>
> die Kurve, die du suchst heißt
> ![[]](/images/popup.gif) Traktrix(oder
> auch Hunde-, Hündchen- oder Schleppkurve).
>
> Hier ist noch
> eine Herleitung. Mit den bezeichnungen aus deiner Aufgabe
> würde es hier heißen, dass die Katze in (0,c) sitzt und die
> Maus die y-Achse nach oben läuft.
>
> Vielleicht hilft dir das weiter...
> Lieben Gruß,
> Fulla
hallo Florian,
Die Katz-Maus-Kurve, welche Teufel sucht, entspricht
nicht der Hundekurve. Bei der Hundekurve ist die Länge
der "Hundeleine" konstant. Für die Katz-Maus-Kurve gilt
eine andere Bedingung: Der Geschwindigkeitsvektor der
Katze ist zwar auch auf den Punkt "Maus" ausgerichtet,
aber ausserdem ist sein Betrag vorgegeben und nicht die
Distanz Katze-Maus. Man kommt also auf eine andere
Differentialgleichung.
Gruß Al-Chw.
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Ich habe mich noch gefragt, was der Unterschied
zwischen der Hunde- und der Hündchenkurve sein mag.
Vermutlich ist es ganz einfach:
Bei der Hundekurve ist der Hund vorne, bei der
Hündchenkurve das Frauchen ... 
Al
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hallo Teufel,
um diese Kurve zu bestimmen, muss man eine
Differentialgleichung aufstellen und (wenn möglich)
lösen. Führen wir zuerst ein paar Bezeichnungen ein:
$\ m$: Geschwindigkeit der Maus (m>0)
$\ M(t)=(m*t\ /\ 0)$ : Position der Maus zum Zeitpunkt t
$\ k$: Geschwindigkeit der Katze (k>m)
$\ K(t)=(x(t)/y(t))$ : Position der Katze zum Zeitpunkt t
Der Geschwindigkeitsvektor [mm] \vec{v}_K [/mm] der Katze hat die Richtung
des Vektors [mm] \overrightarrow{KM} [/mm] und den Betrag k, also ist
[mm] \vec{v}_K=\vektor{\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)}=k*\bruch{\overrightarrow{KM}}{|\overrightarrow{KM}|}
[/mm]
In Komponenten:
[mm] \dot{x}(t)=\bruch{k}{\wurzel{(m*t-x(t))^2+(y(t))^2}}*(m*t-x(t))
[/mm]
[mm] \dot{y}(t)=\bruch{k}{\wurzel{(m*t-x(t))^2+(y(t))^2}}*(-y(t))
[/mm]
Dieses Differentialgleichungssystem zu lösen könnte
schwierig werden. Ich würde z.B. einmal ausprobieren,
ob Mathematica damit was anfangen kann.
Es könnte aber auch sein, dass nur eine numerische
Lösung möglich ist.
LG al-Chwarizmi
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Beim Googeln "Katze Maus Differentialgleichung" findet
man, dass dieses Problem vornehmlich in Numerik-Kursen
behandelt wird. Das deutet darauf hin, dass es wohl keine
analytische Lösung gibt.
Ich habe mir die Mühe genommen, eines meiner früheren
DGL-Programme so abzuändern, dass es diese DGL numerisch
löst. Hier ein Ergebnis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hiho!
Erstmal ein großes Dankeschön an euch, vor allem an Al für die ganze Mühe! Scheint wohl doch schwieriger zu sein, als ich dachte (hätte dann wohl eher in "Hochschule" gehört).
Ich weiß, dass man in der Originalaufgabe früher die Kurve benennen sollte, die die Katze abrennt. Aber das könnte man eigentlich gar nicht so einfach sagen, oder?
Und auch danke für die Sache mit der Traktrix, Fulla! Wieder mal etwas interessantes zum durchlesen.
Teufel
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