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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | Ist [mm] $(X_i)_{i\in I}$ [/mm] ein System von Mengen, dann definiert man
[mm] $\prod_{i\in I}X_i:=\left\{f:I\longrightarrow\bigcup_{i\in I}X_i\;\middle|\;\forall i\in I:f(i)\in X_i\right\}$ [/mm] |
Guten Tag!
Ich habe etwas Probleme mit obiger Definition. Ich weiß nicht wie umfangreich eine solche Menge ist, es wäre toll, wenn vielleicht jemand als Beispiel mit [mm] $I:=\{1,2\}$, $X_1:=\{a,b\}$ [/mm] und [mm] $X_2:=\{x,y,z\}$ [/mm] das Produkt aufschreiben könnte, damit ich versuchen kann, es nachzuvollziehen.
Verstehe ich es richtig, dass hierbei die Abbildungen $f$ nur als ihre Graphen interpretiert werden und nicht, wie auch manchmal [mm] $f:X\longrightarrow [/mm] Y$ definiert wird durch [mm] $f=(G_f,Y)$.
[/mm]
Liebe Grüße!
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> Ist [mm](X_i)_{i\in I}[/mm] ein System von Mengen, dann definiert
> man
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> [mm]\prod_{i\in I}X_i:=\left\{f:I\longrightarrow\bigcup_{i\in I}X_i\;\middle|\;\forall i\in I:f(i)\in X_i\right\}[/mm]
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> Guten Tag!
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> Ich habe etwas Probleme mit obiger Definition. Ich weiß
> nicht wie umfangreich eine solche Menge ist, es wäre toll,
> wenn vielleicht jemand als Beispiel mit [mm]I:=\{1,2\}[/mm],
> [mm]X_1:=\{a,b\}[/mm] und [mm]X_2:=\{x,y,z\}[/mm] das Produkt aufschreiben
> könnte, damit ich versuchen kann, es nachzuvollziehen.
>
> Verstehe ich es richtig, dass hierbei die Abbildungen [mm]f[/mm] nur
> als ihre Graphen interpretiert werden und nicht, wie auch
> manchmal [mm]f:X\longrightarrow Y[/mm] definiert wird durch
> [mm]f=(G_f,Y)[/mm].
>
> Liebe Grüße!
Hallo Labrinth,
in dem vorgeschlagenen Beispiel ist jedes Element f
des cartesischen Produkts eine Funktion
$\ f:\ [mm] \{\,1,2\,\}\ \to [/mm] \ [mm] \{\,a,b,x,y,z\,\}$ [/mm]
Eine solche Funktion kann man durch das geordnete
Paar ihrer beiden Funktionswerte f(1) und f(2) darstellen,
als Beispiel etwa:
(f(1),f(2)) = (b,x)
Im vorliegenden Fall liegen für f(1) jeweils die zwei Werte
a oder b zur Auswahl vor, für f(2) die drei Werte x, y oder z.
Insgesamt hat also die Produktmenge 2 x 3 = 6 Elemente.
Dies ist übrigens ein Grund für die Bezeichnung als
"Produktmenge".
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Labrinth |
Danke Al-Chwarizmi!
> > Ist [mm](X_i)_{i\in I}[/mm] ein System von Mengen, dann definiert
> > man
> >
> > [mm]\prod_{i\in I}X_i:=\left\{f:I\longrightarrow\bigcup_{i\in I}X_i\;\middle|\;\forall i\in I:f(i)\in X_i\right\}[/mm]
>
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> > Guten Tag!
> >
> > Ich habe etwas Probleme mit obiger Definition. Ich weiß
> > nicht wie umfangreich eine solche Menge ist, es wäre toll,
> > wenn vielleicht jemand als Beispiel mit [mm]I:=\{1,2\}[/mm],
> > [mm]X_1:=\{a,b\}[/mm] und [mm]X_2:=\{x,y,z\}[/mm] das Produkt aufschreiben
> > könnte, damit ich versuchen kann, es nachzuvollziehen.
> >
> > Verstehe ich es richtig, dass hierbei die Abbildungen [mm]f[/mm] nur
> > als ihre Graphen interpretiert werden und nicht, wie auch
> > manchmal [mm]f:X\longrightarrow Y[/mm] definiert wird durch
> > [mm]f=(G_f,Y)[/mm].
> >
> > Liebe Grüße!
>
>
> Hallo Labrinth,
>
> in dem vorgeschlagenen Beispiel ist jedes Element f
> des cartesischen Produkts eine Funktion
>
> [mm]\ f:\ \{\,1,2\,\}\ \to \ \{\,a,b,x,y,z\,\}[/mm]
>
> Eine solche Funktion kann man durch das geordnete
> Paar ihrer beiden Funktionswerte f(1) und f(2)
> darstellen,
> als Beispiel etwa:
>
> (f(1),f(2)) = (b,x)
Ok, das war ein Punkt meiner Unsicherheit. Mit dieser Auffassung gilt ja zum Beispiel auch
[mm] $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{Z}\,,\quad x\longmapsto [/mm] x$
[mm] $=g:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}\,,\quad x\longmapsto [/mm] x$,
richtig?
> Im vorliegenden Fall liegen für f(1) jeweils die zwei
> Werte
> a oder b zur Auswahl vor, für f(2) die drei Werte x, y
> oder z.
> Insgesamt hat also die Produktmenge 2 x 3 = 6 Elemente.
> Dies ist übrigens ein Grund für die Bezeichnung als
> "Produktmenge".
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
>
>
Ich habe übrigens noch die Definition der Abbildung gefunden. Also zuerst wird die als "Zuordnung" definiert, aber dann heißt es
"Zur Präzisierung identifiziert man die Abbildung [mm] $f:X\longrightarrow [/mm] Y$ mit ihrem Graphen [mm] $G_f:=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.
[/mm]
Sehe ich es dann richtig, dass gilt:
[mm] \prod_{i\in I}X_i=\Big\{\big\{(1,a),(2,x)\big\},\big\{(1,a),(2,y)\big\},\big\{(1,a),(2,y)\big\},\big\{(1,a),(2,y)\big\},\big\{(1,b),(2,x)\big\},\big\{(1,b),(2,y)\big\},\big\{(1,b),(2,z)\big\}\Big\}
[/mm]
Oder stimmt das jetzt nicght?
Beste Grüße,
Labrinth
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> Ich habe übrigens noch die Definition der Abbildung
> gefunden. Also zuerst wird die als "Zuordnung" definiert,
> aber dann heißt es
>
> "Zur Präzisierung identifiziert man die Abbildung
> [mm]$f:X\longrightarrow[/mm] Y$ mit ihrem Graphen
> [mm]$G_f:=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.[/mm]
>
> Sehe ich es dann richtig, dass gilt:
>
> [mm]\prod_{i\in I}X_i=\Big\{\big\{(1,a),(2,x)\big\},\big\{(1,a),(2,y)\big\},\big\{(1,a),(2,y)\big\},\big\{(1,a),(2,y)\big\},\big\{(1,b),(2,x)\big\},\big\{(1,b),(2,y)\big\},\big\{(1,b),(2,z)\big\}\Big\}[/mm]
>
> Oder stimmt das jetzt nicht?
>
> Beste Grüße,
> Labrinth
Hallo Labrinth,
die mengenmäßige Darstellung mit dem "Graphen" ist die
übliche in diesem Zusammenhang. Wenn ich vorgeschlagen
habe, eine auf der Menge [mm] \{1,2\} [/mm] definierte Funktion als Menge
der Paare (f(1),f(2)) "darzustellen", dann ist dies halt
eine Art abgekürzter Darstellung.
Wenn klar ist, wie sie zu verstehen ist, ist sie jedenfalls
praktisch, weil viel kürzer als die ganze Schachtelung von
Mengenklammern.
LG , Al-Chw.
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