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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mi 20.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo!
Ich habe mal eine ganz generelle Frage:
Es gibt ja null-dimensionale Untermannigfaltigkeiten.
Und Untermannigfaltigkeiten lassen sich ja durch Karten beschreiben; dies ist ja eine Charakterisierung.
Ich habe mich jetzt gefragt, wie wohl eine Karte für eine null-dimensionale Untermannigfaltigkeit aussehen mag...
Und habe irgendwie keine Antwort gefunden...
Ebenso für n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten... |
Null-dimensionale UMF bestehen doch nur aus Punkten...
Und n-dimensionale UMF sind die offenen Mengen des [mm] R^n.
[/mm]
Bei n-dimensionalen Karten wird man also einfach die identische Abbildung als globale Karte nehmen können.
Aber wie sieht das bei null-dim. UMF aus?
Kann mich da jemand bitte kurz mal aufklären?
Wäre sehr nett!
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Hallo,
> Hallo!
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> Ich habe mal eine ganz generelle Frage:
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> Es gibt ja null-dimensionale Untermannigfaltigkeiten.
> Und Untermannigfaltigkeiten lassen sich ja durch Karten
> beschreiben; dies ist ja eine Charakterisierung.
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> Ich habe mich jetzt gefragt, wie wohl eine Karte für eine
> null-dimensionale Untermannigfaltigkeit aussehen mag...
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> Und habe irgendwie keine Antwort gefunden...
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> Ebenso für n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten...
> Null-dimensionale UMF bestehen doch nur aus Punkten...
> Und n-dimensionale UMF sind die offenen Mengen des [mm]R^n.[/mm]
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> Bei n-dimensionalen Karten wird man also einfach die
> identische Abbildung als globale Karte nehmen können.
>
> Aber wie sieht das bei null-dim. UMF aus?
>
Nun ja, für solche 0-dimensionalen (diskreten) UMFen wären das dann wohl Karten, die Punkte auf Punkte abbilden bzw. jeweils einen Punkt auf einen Punkt. Ich habe aber ehrlich gesagt noch nie einen Mathematiker gehört oder gesehen, der sich für 0-dim. UMFen interessiert hat. Sie sind reichlich langweilig, da man keine vernünftige Krümmung für sie definieren kann, keinen Tangentialraum usw..
Für die meisten interessanten Aussagen der Analysis und Differentialgeometrie wird man deshalb wohl auch mindest 1-Dimensionalität voraussetzen.
Hoffe, ich konnte ein wenig helfen.
Gruss,
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 20.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Was ist denn der [mm] R^0 [/mm] ?
Denn daher müssten ja die Urbilder einer solchen Abbildung kommen, oder?
[Karten sind ja auf offenen Teilmengen des [mm] R^k [/mm] definiert.]
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> Was ist denn der [mm]R^0[/mm] ?
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> Denn daher müssten ja die Urbilder einer solchen Abbildung
> kommen, oder?
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> [Karten sind ja auf offenen Teilmengen des [mm]R^k[/mm] definiert.]
Wie habt ihr denn die UMFen genau definiert? Man kann sie durchaus auch so definieren (siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier), dass man ohne eine hypothetischen [mm] $R^0$ [/mm] auskommt. Unter letzterem kann ich mir nämlich auch nicht so recht etwas vorstellen, obwohl man ihn vermutlich rein formal irgendwie definieren kann.
Gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mi 20.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Wir hatten ganz viele Definitionen für eine Untermannigfaltigkeit (Nullstellenmenge, lokal als Graph, mit Hilfe eines Diffeomorphismus und eben wie folgt, wie ich es jetzt mal aus O. Forster, "Analysis 3" zitiere:)
"Eine Teilmenge [mm] M\subset \IR^n [/mm] ist dann und nur dann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse [mm] C^{\alpha}, [/mm] wenn es zu jedem Punkt [mm] a\in [/mm] M eine offene Umgebung [mm] V\subset [/mm] M relativ M, eine offene Teilmenge [mm] T\subset \IR^0 [/mm] und eine Immersion [mm] \varphi:T\to\IR^n [/mm] der Klasse [mm] C^{\alpha} [/mm] gibt, die T homöomorph auf V abbildet."
Daher würde ich meinen, dass man bei einer 0-dimensionalen UMF eben mit dem [mm] \IR^0 [/mm] zu tun hat, jedenfalls sofern man diese Definition verwendet.
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> Wir hatten ganz viele Definitionen für eine
> Untermannigfaltigkeit (Nullstellenmenge, lokal als Graph,
> mit Hilfe eines Diffeomorphismus und eben wie folgt, wie
> ich es jetzt mal aus O. Forster, "Analysis 3" zitiere:)
>
> "Eine Teilmenge [mm]M\subset \IR^n[/mm] ist dann und nur dann eine
> k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse [mm]C^{\alpha},[/mm]
> wenn es zu jedem Punkt [mm]a\in[/mm] M eine offene Umgebung [mm]V\subset[/mm]
> M relativ M, eine offene Teilmenge [mm]T\subset \IR^0[/mm] und eine
> Immersion [mm]\varphi:T\to\IR^n[/mm] der Klasse [mm]C^{\alpha}[/mm] gibt, die
> T homöomorph auf V abbildet."
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> Daher würde ich meinen, dass man bei einer 0-dimensionalen
> UMF eben mit dem [mm]\IR^0[/mm] zu tun hat, jedenfalls sofern man
> diese Definition verwendet.
>
>
Für mich sind diese 0-dim. UMFen so etwas wie ein Graubereich. Ich habe mittlerweile zahlreiche Definitionen von UMFen gefunden, die für die Dimension $k [mm] \ge [/mm] 1$ voraussetzen. Ich würde also schauen, welche Definitionen Du auf den Fall $k=0$ anwenden kannst (z.B. die in meinem Link zu Wikipedia) und diese verwenden. Definitionen, die einen [mm] $R^0$ [/mm] benötigen, würde ich eher vermeiden, da unklar ist, wie ein solcher 'Raum' aussehen soll.
Gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Do 21.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke bis hierher.
Ich finde das ein bisschen seltsam, daß manche Definitionen den Fall, daß k=0 ist, so aussortieren, schließlich gibt es nunmal 0-dimensionale Untermannigfaltigkeiten...
Vielleicht klärt sich es ja noch mehr.
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