Kardinalität zweier Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
Ich verstehe einfach nicht warum die durch F gegebene Abbildung auf Seite 120 in allen vier Fällen Surjektiv sein soll. Das die Abbildung eine Injektion definiert ist mir Klar.
Speziell geht es mir dabei um den Fall 1 der aufgeführt ist. Ich hoffe, dass mir das jemand erklären kann und bedanke mich für Antworten.
Gruß Rubikon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Rubikon,
für Interessierte: Es geht um Paul Cohens Beweis des Satzes von Schröder-Bernstein:
Gibt es injektive Abbildungen [mm] $f\colon [/mm] M [mm] \to [/mm] N$ und [mm] $g\colon N\to M\,,$ [/mm] so gibt es auch eine Bijektion [mm] $F\colon M\to N\,.$
[/mm]
Jetzt zu Deiner Frage: Cohen zerlegt [mm] $M\cup [/mm] N$ in paarweise disjunkte Teilmengen, wobei jede Teilmenge $K$ genau die Elemente einer Kette enthält. Um zu zeigen, daß $F$ surjektiv ist, genügt es zu zeigen, daß für jedes $K$ die Abbildung
[mm] $F_K\colon K\cap M\to K\cap [/mm] N, [mm] m\mapsto [/mm] F(m)$
surjektiv ist. Dies ist aber leicht einzusehen, oder? Betrachten wir $K$ für eine Kette nach Fall 1:
$K = [mm] \{m_i, n_i\mid 0\le i\le k\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $F(m_i) [/mm] = [mm] f(m_i) [/mm] = [mm] n_i$ [/mm] für [mm] $0\le [/mm] i [mm] \le [/mm] k$ und [mm] $F_K$ [/mm] ist surjektiv, denn für jedes [mm] $n_i\in K\cap [/mm] N$ ist [mm] $m_i \in K\cap [/mm] M$ mit [mm] $F_K(m_i)=n_i\,.$
[/mm]
Ergänzung nach Hinweis von HJKweseleit:
Ebenso für die Fälle 2 und 3. Im Fall 4 beginnt die Kette in einem [mm] $n_0\notin [/mm] f(M)$ und [mm] $F_K$ [/mm] ist nicht surjektiv. In diesem Fall ist aber
[mm] $G_K\colon K\cap [/mm] N [mm] \to K\cap [/mm] M, [mm] n\mapsto [/mm] g(n)$
surjektiv.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo Helbig,
vielen Dank. Habe das ganze jetzt dank dir verstanden. Große Empfehlung übrigens an alle die das Buch der Beweise noch nicht kennen. Ich bin davon begeistert.
Gruß Rubikon
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Ich verstehe nicht, wieso aus der "Kettenbetrachtung" die Surjektivität folgen soll. Wenn alle Ketten geschlossen wären, wäre das klar. Bei unendlichen Mengen (bei endlichen ist sowieso alles klar) bleibt die Sache kritisch, weil die Ketten sich nicht schließen müssen.
Beispiel:
Sei M = N = [mm] \IN. [/mm] Natürlich gibt es eine Bijektion (f(x)=x), ich weiß nur nicht, wie ich eine aus deiner Darstellung konstruieren kann. Der Klarheit wegen setze ich die Zahlen aus N in spitze Klammern.
Sei f(x)=2x, sei g(x)=3x, beide sind injektiv.
Dann beginnt bei 1 die Kette 1,<2>,6,<12>,36,<72>,216,...,
bei <3> die Kette <3>,9,<18>,54,<108> ..., aber f erfasst in N keine ungerade Zahl, g in M keine nicht durch 3 teilbare Zahl. Wie kann ich mit obigem f und g nun eine Bijektion finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ich verstehe nicht, wieso aus der "Kettenbetrachtung" die
> Surjektivität folgen soll. Wenn alle Ketten geschlossen
> wären, wäre das klar. Bei unendlichen Mengen (bei
> endlichen ist sowieso alles klar) bleibt die Sache
> kritisch, weil die Ketten sich nicht schließen müssen.
> Beispiel:
>
> Sei M = N = [mm]\IN.[/mm] Natürlich gibt es eine Bijektion
> (f(x)=x), ich weiß nur nicht, wie ich eine aus deiner
> Darstellung konstruieren kann. Der Klarheit wegen setze ich
> die Zahlen aus N in spitze Klammern.
>
> Sei f(x)=2x, sei g(x)=3x, beide sind injektiv.
>
> Dann beginnt bei 1 die Kette 1,<2>,6,<12>,36,<72>,216,...,
> bei <3> die Kette <3>,9,<18>,54,<108> ..., aber f erfasst
> in N keine ungerade Zahl, g in M keine nicht durch 3
> teilbare Zahl. Wie kann ich mit obigem f und g nun eine
> Bijektion finden?
Gar nicht! Die von mir angegebene Funktion [mm] $F_K$ [/mm] ist im Fall 4 nicht surjektiv. Also entweder haben die Autoren des Buches den Beweis von Cohen falsch verstanden oder ich habe den Beweis im Buch falsch verstanden.
Danke für den Hinweis,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo Helbig,
der Beweis, so wie ich ihn nun verstanden habe müsste eigentlich stimmen. Ich versuche das mal kurz zu erklären.
Man will ja eine Bijektion von der Menge M in die Menge N konstruieren. Sei also [mm] n_{0}\in [/mm] N. Dann gilt [mm] n_{0} \in K_{i} [/mm] für genau eine der Ketten vom Typ Fall 1, 2, 3 oder 4.
Begründung für letzteres: Wir können einfach [mm] n_{0} [/mm] an den Anfang einer Kette setzen und diese wie beschrieben zurückzuverfolgen. Dabei ergibt sich dann, dass die Kette von einem (und auch nur einem) der von den vier Fällen beschriebenen Form ist und auch in nur einer Kette [mm] K_{i} [/mm] vorkommt.
Ist sie von Fall 4 (Wie von Helbig angedeutet), dann erhalten wir eine Abbildung [mm] g(n_{0})=m_{0} [/mm] für [mm] m_{0} \in [/mm] M und weil g injektiv ist gilt [mm] g^{-1}(m_{0})=n_{0}. [/mm]
Und genau so ist ja auch F im Buch definiert, denn [mm] m_{0} [/mm] wird auf [mm] n_{0} [/mm] abgebildet. In welcher "Richtung", d.h. ob man die Kette vorwärts oder rückwärts verfolgt, spielt dabei keine Rolle.
So habe ich den Beweis verstanden. Korrigiert mich wenn ich falsch liege.
Grüße Rubikon.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Helbig,
>
> der Beweis, so wie ich ihn nun verstanden habe müsste
> eigentlich stimmen. Ich versuche das mal kurz zu
> erklären.
>
> Man will ja eine Bijektion von der Menge M in die Menge N
> konstruieren. Sei also [mm]n_{0}\in[/mm] N. Dann gilt [mm]n_{0} \in K_{i}[/mm]
> für genau eine der Ketten vom Typ Fall 1, 2, 3 oder 4.
>
> Begründung für letzteres: Wir können einfach [mm]n_{0}[/mm] an
> den Anfang einer Kette setzen und diese wie beschrieben
> zurückzuverfolgen. Dabei ergibt sich dann, dass die Kette
> von einem (und auch nur einem) der von den vier Fällen
> beschriebenen Form ist und auch in nur einer Kette [mm]K_{i}[/mm]
> vorkommt.
>
> Ist sie von Fall 4 (Wie von Helbig angedeutet), dann
> erhalten wir eine Abbildung [mm]g(n_{0})=m_{0}[/mm] für [mm]m_{0} \in[/mm] M
> und weil g injektiv ist gilt [mm]g^{-1}(m_{0})=n_{0}.[/mm]
>
> Und genau so ist ja auch F im Buch definiert, denn [mm]m_{0}[/mm]
> wird auf [mm]n_{0}[/mm] abgebildet. In welcher "Richtung", d.h. ob
> man die Kette vorwärts oder rückwärts verfolgt, spielt
> dabei keine Rolle.
In der ersten Version meiner Antwort hatte ich nicht bedacht, daß im Fall 4 die Abbildung [mm] $M\cap [/mm] K [mm] \to N\cap [/mm] K, [mm] m_i\to n_i$ [/mm] nicht surjektiv ist, und deshalb die Abbildung [mm] $N\cap K\to M\cap [/mm] K, [mm] n_i\to m_i$ [/mm] zur Konstruktion von F herangezogen werden muß. Im Buch wird dies keineswegs deutlich!
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
Wieso ist die Abbildung denn in dem Fall nicht surjektiv? Es kann doch zu jedem [mm] n_{0} [/mm] ein [mm] m_{0} [/mm] gefunden werden, sodass [mm] m_{0} [/mm] auf [mm] n_{0} [/mm] abgebildet wird.
entweder geschieht das durch die Abbildung [mm] g^{-1}(m_{0})=n_{0} [/mm] oder durch [mm] f(m_{0})=n_{0}.
[/mm]
Gruß Rubikon.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
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> Wieso ist die Abbildung denn in dem Fall nicht surjektiv?
> Es kann doch zu jedem [mm]n_{0}[/mm] ein [mm]m_{0}[/mm] gefunden werden,
> sodass [mm]m_{0}[/mm] auf [mm]n_{0}[/mm] abgebildet wird.
>
> entweder geschieht das durch die Abbildung
> [mm]g^{-1}(m_{0})=n_{0}[/mm] oder durch [mm]f(m_{0})=n_{0}.[/mm]
Nein. [mm] $g^{-1}$ [/mm] ist doch nur bei bijektivem $g$ definiert, und dann wäre nichts mehr zu zeigen.
Die von mir gegebene Abbildung [mm] $F_K \colon M\cap K\to N\cap [/mm] K, [mm] m\mapsto [/mm] f(m)$ ist im Fall 4 nicht surjektiv, da [mm] $n_0$ [/mm] nicht erreicht wird. Aber die Abbildung [mm] $G_K \colon N\cap K\to M\cap [/mm] K, [mm] n\mapsto [/mm] g(n)$ ist surjektiv. Da $g$ injektiv ist, ist [mm] $G_K$ [/mm] auch bijektiv, und wir erhalten mit [mm] $F_K=G_K^{-1}$ [/mm] eine bijektive Abbildung [mm] $M\cap K\to N\cap K\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Rubikon |
Entschuldigung. Ich meinte mit [mm] g^{-1} [/mm] eigentlich eine Abbildung k [mm] \in [/mm] Abb(M,N), sodass k o g= [mm] Id_{N}, [/mm] die wegen der Injektivität existiert.
Dein Argument habe ich allerdings jetzt auch verstanden.
Grüße Rubikon
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