Kapazität bestimmen Resonanz < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei welcher Kapazität stellt sich Resonanz in Schaltung a) ein?
R=10 kΩ,L= 10 mH, f= 100 kHz? |
Die Schaltung besteht aus einem Kondensator, der parallel geschaltet ist zu einer im Reihe geschalteten Spule und einem Widerstand.
Ich hab die Gesamtimpedanz aufgestellt und komplex konjugiert erweitert und dann den Zähler im komplexen Teil=0 gesetzt, da im Resonanzfall der komplexe Teil ja gleich 0 ist. Dann habe ich nach der Kapazität aufgelöst und bekomme das hier heraus:
[mm] \bruch{-L}{R^{2}-w^{2}*L^{2}}= [/mm] C
ich wollte fragen, ob ich das richtig gerechnet habe?
ok hier meine Schritte:
[mm] \bruch{(j*w*C)^{-1}*(R+j*w*L)}{R+j*(w*L-(w*C)^{-1})}
[/mm]
danne habe ich das ganze komplex konjugiert erweitert mit [mm] \bruch{R-j*(w*L-(w*C)^{-1})}{R-j*(w*L-(w*C)^{-1})}
[/mm]
und erhalte:
[mm] \bruch{(j*w*C)^{-1}*(R^{2}-R*j*(w*L-(w*C)^{-1})+R*j*w*L+w*L(w*L-(w*C)^{-1})}{R^{2}+(w*L-(w*C)^{-1})^{2}}
[/mm]
dann habe ich das Ganze nochmal ausmultipliziert und umgestellt:
[mm] \bruch{\bruch{-R*(w*L-\bruch{1}{(w*C)}}{(w*C)}+\bruch{R*L}{C}+j*(\bruch{-R^{2}}{w*C}-\bruch{w^{2}*L^{2}-\bruch{L}{C}}{w*C})}{R^{2}+(w*L-(w*C)^{-1})^{2}}
[/mm]
den Zähler des Imaginärteils habe ich gleich 0 gesetzt umgeformt und komme zu meinem oben genannten Ergebnis, hoffe die Schritte reichen^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 26.06.2013 | | Autor: | MathePower |
Hallo Sherlock27,
> Bei welcher Kapazität stellt sich Resonanz in Schaltung a)
> ein?
> R=10 kΩ,L= 10 mH, f= 100 kHz?
>
> Die Schaltung besteht aus einem Kondensator, der parallel
> geschaltet ist zu einer im Reihe geschalteten Spule und
> einem Widerstand.
>
> Ich hab die Gesamtimpedanz aufgestellt und komplex
> konjugiert erweitert und dann den Zähler im komplexen
> Teil=0 gesetzt, da im Resonanzfall der komplexe Teil ja
> gleich 0 ist. Dann habe ich nach der Kapazität aufgelöst
> und bekomme das hier heraus:
>
> [mm]\bruch{-L}{R^{2}-w^{2}*L^{2}}=[/mm] C
>
> ich wollte fragen, ob ich das richtig gerechnet habe?
Da können wir erst entscheiden, wenn Du die
zugehörigen Rechenschritte postest.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mi 26.06.2013 | | Autor: | Sherlock27 |
habe die Schritte jetzt aufgeschrieben
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 27.06.2013 | | Autor: | isi1 |
Deine Rechnung ist richtig - bis auf Vorzeichenfehler -, wenn Du mit Resonanz die Phasenresonanz meinst.
Die Kapazität wäre dann C = L/(R²+ω²L²)
Allerdings versteht man landläufig unter Resonanz eher die Amplitudenresonanz (= Betragsresonanz, siehe Bildchen).
http://muenchen-surf.de/isi1/Schwinkkreis_Ortskurve.jpg
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und wäre die Betragsresonanz etwa eine andere? Wie würde man die berechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 27.06.2013 | | Autor: | isi1 |
>> und wäre die Betragsresonanz etwa eine andere?
>> Wie würde man die berechnen?
Das steht schon in dem beigefügten Bildchen, Du musst nur das Q usw. einsetzen.
Die Berechnung läuft wie üblich bei der Berechnung eines Maximums oder Minimums mit Differenzieren und Nullsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 27.06.2013 | | Autor: | GvC |
Deine Rechnung ist ausgesprochen unübersichtlich und, wie von isi1 bereits gesagt, mit Fehlern behaftet. Einfacher geht es mit folgender Überlegung:
Wenn der Imaginärteil der Impedanz Null ist, muss auch der Imaginärteil der Admittanz Null sein. Also:
[mm]\underline{Y}=\frac{1}{R+jX_L}+j\frac{1}{X_C}=\frac{R-jX_L}{R^2+X_L^2}+j\frac{1}{X_C}=\frac{R}{R^2+X_L^2}+j\left( -\frac{X_L}{R^2+X_L^2}+\frac{1}{X_C}\right) [/mm]
Resonanzbedingung: [mm] Im(\underline{Y})=0[/mm]
[mm]-\frac{X_L}{R^2+X_L^2}+\frac{1}{X_C}=0[/mm]
[mm]\frac{1}{X_C}=\frac{X_L}{R^2+X_L^2}[/mm]
Mit
[mm]X_C=\frac{1}{\omega C}[/mm]
und
[mm]X_L=\omega L[/mm]
ergibt sich
[mm]\omega C=\frac{\omega L}{R^2+(\omega L)^2}[/mm]
[mm] \omega [/mm] kürzen:
[mm]C=\frac{L}{R^2+(\omega L)^2}[/mm]
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ist nicht [mm] \bruch{1}{j*w*C} [/mm] = [mm] -j*(w*C)^{-1}?
[/mm]
EDit, sorry ist ja Admittanz also der Kehrwert der Impedanz, ist das in der Regel einfacher zu rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 27.06.2013 | | Autor: | GvC |
> ist nicht [mm]\bruch{1}{j*w*C}[/mm] = [mm]-j*(w*C)^{-1}?[/mm]
> EDit, sorry ist ja Admittanz also der Kehrwert der
> Impedanz, ist das in der Regel einfacher zu rechnen?
>
Vergleich' doch einfach 'mal Deine mit meiner Rechnung. Welche erscheint Dir einfacher?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 So 07.07.2013 | | Autor: | Sherlock27 |
ja das ist wirklich einfacher. Habe jetzt die Werte eingesetzt und komme auf 99 pF, während es in der Musterlösung 71pF sind, aber ich bin mir sicher alles richtig gemacht zu haben
danke hat sich geklärt, habe vergessen FRequenz in Kreisfrequenz umzurechnen
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