Kammfunktion Fouriertransformi < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 21.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bastiane,
ich hoffe, ich kann etwas Klarheit in Deine Variablenwelt bringen. Auf der von Dir angegebenen Wikipedia-Seite fehlt leider auch eine halbwegs sinnvolle Erklärung und es wird bunt mit Reihen und Transformationen jongliert.
Zunächst mal zur Fourierreihe. Diese erlaubt Dir, eine vorgegebene Funktion, in der E-Technik ist es meist eine Funktion der Zeit, durch Sinus- und Cosinusterme darzustellen, die sich additiv überlagern und so die vorgegebene Funktion möglichst gut nachbilden. Durch die Orthogonalität der hierbei benutzten Basisfunktionen wird das Ergebnis durch die Hinzunahme weiterer Terme immer genauer, ohne die Koeffizienten bereits berechneter Terme zu ändern. Das ist natürlich ein Riesenvorteil, wenn man an praktische Anwendungen denkt. Bei dieser Fourierreihenentwicklung findet jedoch keine Transformation in einen anderen Ergebnisraum statt, nur die Darstellungsart wird geändert. Die Fourierreihe einer Zeitfunktion ist weiterhin eine Funktion der Zeit.
Anders sieht es bei der Fouriertransformation aus, die die Kopplung bildet zwischen Zeit- und Frequenzbereich und damit die Möglichkeit gibt, eine Funktion sowohl im Zeit- wie auch im Frequenzbereich zu beschreiben. Je nachdem, welche Berechnungsmethoden in welchem Bereich einfacher sind, hüpft man zwischen beiden Bereichen hin und her.
Bei Deiner Aufgabe kommt noch erschwerend hinzu, dass die Funktion, die Du transformieren sollst, keine Funktion im mathematischen Sinne ist, sondern eine Distribution. Von der Vorgehensweise her, bietet sich folgende Rechenmethode an. Die Zeitfunktion ist periodisch mit der Periode [mm] T [/mm] und lässt sich demzufolge in eine Fourierreihe entwickeln. Wenn man dies macht, stellt man fest, dass alle Fourierkoeffizienten die Größe [mm] \bruch{2 \pi}{T} [/mm] besitzen und als komplexe Fourierreihe dann so aussehen:
$$ s(t) = [mm] \bruch{2 \pi}{T} \summe_{n = - \infty}^{\infty} \exp^{jn \bruch{2 \pi}{T}t} \, [/mm] . $$
Diesen Ausdruck setzt man dann in die Definition der Fouriertransformation ein:
$$ s( [mm] \omega) [/mm] = [mm] \int_{ - \infty}^{\infty} [/mm] s(t) [mm] \exp^{ - j \omega t} [/mm] dt [mm] \, [/mm] . $$ Vertauschen von Summation und Integration führt dann wieder zur Einführung des Diracimpulses, über den summiert wird. So entsteht Dein Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 So 21.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Infinit!
> Hallo Bastiane,
> ich hoffe, ich kann etwas Klarheit in Deine Variablenwelt
> bringen. Auf der von Dir angegebenen Wikipedia-Seite fehlt
> leider auch eine halbwegs sinnvolle Erklärung und es wird
> bunt mit Reihen und Transformationen jongliert.
> Zunächst mal zur Fourierreihe. Diese erlaubt Dir, eine
> vorgegebene Funktion, in der E-Technik ist es meist eine
> Funktion der Zeit, durch Sinus- und Cosinusterme
> darzustellen, die sich additiv überlagern und so die
> vorgegebene Funktion möglichst gut nachbilden. Durch die
> Orthogonalität der hierbei benutzten Basisfunktionen wird
> das Ergebnis durch die Hinzunahme weiterer Terme immer
> genauer, ohne die Koeffizienten bereits berechneter Terme
> zu ändern. Das ist natürlich ein Riesenvorteil, wenn man an
> praktische Anwendungen denkt. Bei dieser
> Fourierreihenentwicklung findet jedoch keine Transformation
> in einen anderen Ergebnisraum statt, nur die
> Darstellungsart wird geändert. Die Fourierreihe einer
> Zeitfunktion ist weiterhin eine Funktion der Zeit.
Vielen Dank für diese Erklärung. Eigentlich habe ich das alles schon mal gehört, aber ich bringe es doch immer wieder durcheinander oder habe das nicht als Ganzes in meinem Kopf. Ich hoffe, jetzt bleibt es mal so drin. 
> Anders sieht es bei der Fouriertransformation aus, die die
> Kopplung bildet zwischen Zeit- und Frequenzbereich und
> damit die Möglichkeit gibt, eine Funktion sowohl im Zeit-
> wie auch im Frequenzbereich zu beschreiben. Je nachdem,
> welche Berechnungsmethoden in welchem Bereich einfacher
> sind, hüpft man zwischen beiden Bereichen hin und her.
> Bei Deiner Aufgabe kommt noch erschwerend hinzu, dass die
> Funktion, die Du transformieren sollst, keine Funktion im
> mathematischen Sinne ist, sondern eine Distribution. Von
> der Vorgehensweise her, bietet sich folgende Rechenmethode
> an. Die Zeitfunktion ist periodisch mit der Periode [mm]T[/mm] und
Woran sehe ich hier, dass die Periode T ist? Und wie stelle ich mir diese Funktion überhaupt vor? Allgemein hat die [mm] \delta-Funktion [/mm] doch nur einen Wert für x=0. Also in meinem Fall für t=kT. Also gibt es für jeden t-Wert in der Summe nur einen Summanden, der [mm] \not=0 [/mm] ist, oder? Aber wo sieht man da die Periode?
> lässt sich demzufolge in eine Fourierreihe entwickeln. Wenn
> man dies macht, stellt man fest, dass alle
> Fourierkoeffizienten die Größe [mm]\bruch{2 \pi}{T}[/mm] besitzen
Wie kommt man denn darauf? Habe gerade mal ein bisschen rumprobiert, aber ich komme immer auf ein Integral mit der [mm] \delta-Funktion [/mm] und entweder [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] oder der e-Funktion, wo ich dann nicht weiß, wie ich das lösen soll. Vor allem, weil da dann noch ein n drin steckt, für den n-ten Koeffizienten.
> und als komplexe Fourierreihe dann so aussehen:
> [mm]s(t) = \bruch{2 \pi}{T} \summe_{n = - \infty}^{\infty} \exp^{jn \bruch{2 \pi}{T}t} \, .[/mm]
Das ist wirklich die gleiche Funktion s? Das ist ja schön.
> Diesen Ausdruck setzt man dann in die Definition der
> Fouriertransformation ein:
> [mm]s( \omega) = \int_{ - \infty}^{\infty} s(t) \exp^{ - j \omega t} dt \, .[/mm]
> Vertauschen von Summation und Integration führt dann wieder
Gibt es eine kurze Begründung dafür, warum man das hier vertauschen darf?
Und auch hier stoße ich dann wieder auf das Integral, das ich nicht lösen kann...
> zur Einführung des Diracimpulses, über den summiert wird.
> So entsteht Dein Ergebnis.
Mmh - das hört sich ja einfach an. Aber könntest du mir da vielleicht nochmal weiterhelfen? Falls du heute oder morgen früh noch Zeit hast, könnte ich das dann noch mit abgeben (Abgabe ist erst gegen 13 Uhr), aber wenn du es mir später erklärst, wäre ich auch froh, denn in der Übung wird das meist nur recht kurz besprochen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bastiane,
ich habe die einzelnen Schritte mal versucht, etwas deutlicher klar werden zu lassen. Bei der Berechnung der Integrale hilft dabei die Ausblendfunktion des Dirac-Impulses. Ich nehme noch Deinen Text auf und schreibe die Antworten an die jeweilige Stelle.
> Hallo Infinit!
>
> > Hallo Bastiane,
> > ich hoffe, ich kann etwas Klarheit in Deine
> Variablenwelt
> > bringen. Auf der von Dir angegebenen Wikipedia-Seite fehlt
> > leider auch eine halbwegs sinnvolle Erklärung und es wird
> > bunt mit Reihen und Transformationen jongliert.
> > Zunächst mal zur Fourierreihe. Diese erlaubt Dir, eine
> > vorgegebene Funktion, in der E-Technik ist es meist eine
> > Funktion der Zeit, durch Sinus- und Cosinusterme
> > darzustellen, die sich additiv überlagern und so die
> > vorgegebene Funktion möglichst gut nachbilden. Durch die
> > Orthogonalität der hierbei benutzten Basisfunktionen wird
> > das Ergebnis durch die Hinzunahme weiterer Terme immer
> > genauer, ohne die Koeffizienten bereits berechneter Terme
> > zu ändern. Das ist natürlich ein Riesenvorteil, wenn man an
> > praktische Anwendungen denkt. Bei dieser
> > Fourierreihenentwicklung findet jedoch keine Transformation
> > in einen anderen Ergebnisraum statt, nur die
> > Darstellungsart wird geändert. Die Fourierreihe einer
> > Zeitfunktion ist weiterhin eine Funktion der Zeit.
>
> Vielen Dank für diese Erklärung. Eigentlich habe ich das
> alles schon mal gehört, aber ich bringe es doch immer
> wieder durcheinander oder habe das nicht als Ganzes in
> meinem Kopf. Ich hoffe, jetzt bleibt es mal so drin.
>
> > Anders sieht es bei der Fouriertransformation aus, die die
> > Kopplung bildet zwischen Zeit- und Frequenzbereich und
> > damit die Möglichkeit gibt, eine Funktion sowohl im Zeit-
> > wie auch im Frequenzbereich zu beschreiben. Je nachdem,
> > welche Berechnungsmethoden in welchem Bereich einfacher
> > sind, hüpft man zwischen beiden Bereichen hin und her.
> > Bei Deiner Aufgabe kommt noch erschwerend hinzu, dass die
> > Funktion, die Du transformieren sollst, keine Funktion im
> > mathematischen Sinne ist, sondern eine Distribution. Von
> > der Vorgehensweise her, bietet sich folgende Rechenmethode
> > an. Die Zeitfunktion ist periodisch mit der Periode [mm]T[/mm] und
>
> Woran sehe ich hier, dass die Periode T ist? Und wie stelle
> ich mir diese Funktion überhaupt vor? Allgemein hat die
> [mm]\delta-Funktion[/mm] doch nur einen Wert für x=0. Also in meinem
> Fall für t=kT. Also gibt es für jeden t-Wert in der Summe
> nur einen Summanden, der [mm]\not=0[/mm] ist, oder? Aber wo sieht
> man da die Periode?
Eine Funktion, die Werte nur im Abstand kT erzeugt, und das macht genau der Dirac-Impuls, hat eben eine Periodendauer von T. Beim Aufzeichnen der Impulsfolge sieht man das ja auch recht einleuchtend.
> > lässt sich demzufolge in eine Fourierreihe entwickeln. Wenn
> > man dies macht, stellt man fest, dass alle
> > Fourierkoeffizienten die Größe [mm]\bruch{2 \pi}{T}[/mm] besitzen
>
> Wie kommt man denn darauf? Habe gerade mal ein bisschen
> rumprobiert, aber ich komme immer auf ein Integral mit der
> [mm]\delta-Funktion[/mm] und entweder [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] oder der
> e-Funktion, wo ich dann nicht weiß, wie ich das lösen soll.
> Vor allem, weil da dann noch ein n drin steckt, für den
> n-ten Koeffizienten.
>
> > und als komplexe Fourierreihe dann so aussehen:
> > [mm]s(t) = \bruch{2 \pi}{T} \summe_{n = - \infty}^{\infty} \exp^{jn \bruch{2 \pi}{T}t} \, .[/mm]
>
> Das ist wirklich die gleiche Funktion s? Das ist ja schön.
>
>
Sorry, da war ich etwas zu voreilig, der Fourierkoeffizient liefert nur den Wert [mm] \bruch{1}{T} [/mm]
$$ [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{T} \int_{- \bruch{T}{2}}^{\bruch{T}{2}} \delta [/mm] (t) [mm] \exp^{-jn\bruch{2 \pi}{T} t} [/mm] dt = [mm] \bruch{1}{T} [/mm] $$
weil aufgrund der Ausblendfunktion des Dirac-Impulses sich das Integral gerade als der Funktionswert des Integranden für den Zeitpunkt t = 0 ergibt, wodurch die e-Funktion den Wert 1 liefert.
> > Diesen Ausdruck setzt man dann in die Definition der
> > Fouriertransformation ein:
> > [mm]s( \omega) = \int_{ - \infty}^{\infty} s(t) \exp^{ - j \omega t} dt \, .[/mm]
> > Vertauschen von Summation und Integration führt dann wieder
>
> Gibt es eine kurze Begründung dafür, warum man das hier
> vertauschen darf?
Beides sind lineare Operationen, die beliebig verkettet werden dürfen, Standardtrick bei der Berechnung der Spektren von Impulsfolgen.
> Und auch hier stoße ich dann wieder auf das Integral, das
> ich nicht lösen kann...
>
Ich schreib mal auf, was wir bis jetzt haben:
$$ s( [mm] \omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \int_{ - \infty}^{\infty} \exp^{-j(\omega - \bruch{n 2 \pi}{T}) t} [/mm] dt $$
Jetzt wendet man den Verschiebungssatz im Frequenzbereich an mit
$$ f(t) [mm] \exp^{j \bruch{2 \pi}{T} t}korrespondiert [/mm] zu F( [mm] \omega [/mm] - [mm] \bruch{ 2 \pi}{T} [/mm] ) $$, so dass die zu transformierende Funktion die Funktion f(t) = 1 ist. Deren Fouriertransformierte ist [mm] 2 \pi \delta (\omega) [/mm] und so entsteht Dein Ergebnis.
> > zur Einführung des Diracimpulses, über den summiert wird.
> > So entsteht Dein Ergebnis.
>
> Mmh - das hört sich ja einfach an. Aber könntest du mir da
> vielleicht nochmal weiterhelfen? Falls du heute oder morgen
> früh noch Zeit hast, könnte ich das dann noch mit abgeben
> (Abgabe ist erst gegen 13 Uhr), aber wenn du es mir später
> erklärst, wäre ich auch froh, denn in der Übung wird das
> meist nur recht kurz besprochen.
>
Das Ganze ist nun rechnerisch etwas verhackt, aber ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript auf Seite 134 findest Du in schöner Form noch mal die 4 Zeilen Rechnung, zu deren Verständnis meine kleine Erklärung hier hoffentlich beiträgt.
Viele Grüße,
Infinit
> Viele Grüße
> Bastiane
>
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Hallo,
habe diesen Beitrag im Archiv gefunden. Nachdem ich mich mit demselben Problem gerade abmühe, und ich trotz des Beitrages auf keine richtige Lösung komme, frage ich mal nach!
[mm] s(t)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)
[/mm]
Gut, ich weiß, dass es sich um eine unendliche Funktion handelt. Ich weiß auch, dass die Funktion T-periodisch ist. Im Grunde kann ich hier die DFT doch auch anwenden, oder? Ich kann auch die DTFT anwenden, oder? Egal, ich rechne es mal mit der kontinuierlichen Fourier-Transformation. Ich glaube, dass die im Beitrag auch verwendet wurde.
[mm] s(jw)=\integral_{-\infty}^{\infty}{s(t)e^{-j\omega t} dt}
[/mm]
[mm] s(jw)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\summe_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)e^{-j\omega t} dt}
[/mm]
[mm] s(jw)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(t-kT)e^{-j\omega t} dt}
[/mm]
Nun sieht man schön, dass bei t=kT der Dirac zu 1 wird. Somit steht nun folgendes da:
[mm] s(jw)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\summe_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j\omega kT}
[/mm]
Die Doppelsumme macht mich ein wenig stutzig. Irgendwas kann da wohl nicht passen. Andere Variante: Ich glaube, dass der Verschiebungssatz zu tragen kommt, oder?
[mm] f(t-\theta) [/mm] <--> [mm] F(j\omega)e^{-j\omega\theta}
[/mm]
Also:
[mm] s(jw)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}1*e^{-j\omega kT}
[/mm]
Oha, bereits jetzt brennt mir der Hut. Wie ihr seht, komm ich da irgendwie nicht mehr so ganz weiter. Ich hoffe, jemand kann mir da ein bisschen unter die Arme greifen. Freue mich auf Antworten (ja, es dürfen ruhig mehr sein :) ).
lg - hannes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> habe diesen Beitrag im Archiv gefunden. Nachdem ich mich
> mit demselben Problem gerade abmühe, und ich trotz des
> Beitrages auf keine richtige Lösung komme, frage ich mal
> nach!
>
> [mm]s(t)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)[/mm]
>
> Gut, ich weiß, dass es sich um eine unendliche Funktion
> handelt. Ich weiß auch, dass die Funktion T-periodisch ist.
> Im Grunde kann ich hier die DFT doch auch anwenden, oder?
> Ich kann auch die DTFT anwenden, oder? Egal, ich rechne es
> mal mit der kontinuierlichen Fourier-Transformation. Ich
> glaube, dass die im Beitrag auch verwendet wurde.
>
> [mm]s(jw)=\integral_{-\infty}^{\infty}{s(t)e^{-j\omega t} dt}[/mm]
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> [mm]s(jw)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\summe_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)e^{-j\omega t} dt}[/mm]
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> [mm]s(jw)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(t-kT)e^{-j\omega t} dt}[/mm]
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> Nun sieht man schön, dass bei t=kT der Dirac zu 1 wird.
> Somit steht nun folgendes da:
>
> [mm]s(jw)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}\summe_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j\omega kT}[/mm]
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> Die Doppelsumme macht mich ein wenig stutzig. Irgendwas
> kann da wohl nicht passen. Andere Variante: Ich glaube,
> dass der Verschiebungssatz zu tragen kommt, oder?
>
> [mm]f(t-\theta)[/mm] <--> [mm]F(j\omega)e^{-j\omega\theta}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]s(jw)=\summe_{k=-\infty}^{\infty}1*e^{-j\omega kT}[/mm]
>
> Oha, bereits jetzt brennt mir der Hut. Wie ihr seht, komm
> ich da irgendwie nicht mehr so ganz weiter. Ich hoffe,
> jemand kann mir da ein bisschen unter die Arme greifen.
> Freue mich auf Antworten (ja, es dürfen ruhig mehr sein :)
> ).
>
> lg - hannes
uh, jetzt hattest Du mich verwirrt, ich dachte, Bastiane hätte da eine aktuelle Frage gehabt ^^
Das nächste Mal wäre es vll. sinnvoller, eine neue Frage zu eröffnen und dann auf den alten Link zu verweisen ^^
Jedenfalls habe ich hier jetzt gerade ein Skript verlinkt, vll. ist das für Dich ja interessant und klärt damit auch schon Deine Fragen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Braunstein |
Vielen herzlichen Dank für dein Skript. Werde es mir morgen zu Gemüte führen. Sollte aber jemand eine simple Antwort wissen, so möge er mir diese bitte sagen.
Bez. altes Thema: Ich hasse Doppelpostings (und dieses Thema beschäftigt sich ja GENAU mit meinem Problem) :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hannes,
mathematisch korrekt dauert die Herleitung des Zusammenhanges recht lange, wenn man jedoch als E-Techniker, der ich auch bin, bereit ist, die Sätze der Fourier-Transformation anzuwenden, kommt man recht schnell zum Ziel. Einen Mathematiker würde dieser Weg wohl nicht so glücklich machen, ein E-Techniker kann aber damit ganz gut leben.
Okay, beginnen wir mal:
Wie ich schon in meiner Mail an Bastiane schrieb, kommt man am besten weiter, wenn man sich die Fourierreihenentwicklung der Diracfolge im Zeitbereich berechnet. Das Integral ist aufgrund der Ausblendeigenschaft des Dirac leicht zu lösen, jeder Fourierkoeffizient hat die Größe 1/T.
Damit gilt im Zeitbereich folgender Zusammenhang:
$$ [mm] \sum_{k = - \infty}^{\infty} \delta [/mm] (t - kT) = [mm] \bruch{1}{T} \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} \exp^{j \nu 2 \pi \bruch{t}{T}} \, [/mm] . $$
Dies ist nur eine andere Darstellung der Pulsfolge im Zeitbereich. Wenn ich nun den Modulationssatz der Fouriertransformation anwende, der da sagt
$$ [mm] \exp^{j \nu 2 \pi \bruch{t}{T}} [/mm] <--> 2 [mm] \pi \cdot \delta (\omega [/mm] - [mm] \nu \bruch{2 \pi}{T}) \, [/mm] , $$
so bekomme ich, auf die obere Summe angewandt, sofort die gewünschte Korrespondenz raus:
$$ [mm] \sum_{k = - \infty}^{\infty} \delta [/mm] (t - kT) <--> [mm] \bruch{2 \pi}{T} \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} \delta (\omega [/mm] - [mm] \nu \bruch{2 \pi}{T}) [/mm] $$
Das ist der kurze Weg, einen kürzeren kann ich mir nicht vorstellen, aber man benutzt hierbei schon Eigenschaften der Fouriertransformation, ohne sie mathematisch nachzuweisen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Braunstein |
Fein, danke.
Du hast meine Frage damit beantwortet!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 So 07.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Infinit,
> Hallo Hannes,
> mathematisch korrekt dauert die Herleitung des
> Zusammenhanges recht lange, wenn man jedoch als
> E-Techniker, der ich auch bin, bereit ist, die Sätze der
> Fourier-Transformation anzuwenden, kommt man recht schnell
> zum Ziel. Einen Mathematiker würde dieser Weg wohl nicht so
> glücklich machen, ein E-Techniker kann aber damit ganz gut
> leben.
och, solange es sich hinterher auch nochmal mathematisch korrekt begründen läßt, ist ein Mathematiker wohl auch damit erstmal einverstanden. Manchmal kommt man ja auch nur, mehr oder weniger heuristisch, zu neuen Kenntnissen. Wie man die genau zu formulieren und beweisen hat, das machen wohl (meist?!) am besten (natürlich auch fähige  ) Mathematiker.
Ich muss auch ehrlich gestehen, dass ich mich zwar schonmal intensiver mit der Distributionentheorie beschäftigt hatte, aber mittlerweile wieder soviel anderes dazugekommen ist, dass ich, um der Gefahr, Unfug zu reden, zu entgehen, erstmal nochmal ein wenig einlesen und mich etwas intensiver damit beschäftigen müsste. Dafür fehlt mir aber momentan auch (etwas) die Zeit...
> ...
> Das ist der kurze Weg, einen kürzeren kann ich mir nicht
> vorstellen, aber man benutzt hierbei schon Eigenschaften
> der Fouriertransformation, ohne sie mathematisch
> nachzuweisen.
Na, wer mag', kann sich ja z.B. das von mir erwähnte Skript anschauen und/oder andere Literatur benutzen; und abgesehen davon kann ja auch nicht jeder in jedem Fachbereich die Mathematik genauso studiert haben wie Mathestudenten; viele sind ja schon mit der für ihr Studium verlangter Mathematik überfordert. Ob das nun gerechtfertigt ist oder nicht, sei mal dahingestellt, aber generell sollte sich eigentlich jeder schon zu Studienbeginn im Klaren darüber sein, was auf ihn zukommt. Da kann man sich ja vorher informieren.
Und hier: Wenn in der Vorlesung das ganze auch etwas weniger streng, d.h. ohne strenge Begründungen bzw. etwas mehr heuristisch, gehandhabt wird, finde ich es auch legitim, wenn der Student die Aufgabe auch in diesem Stil löst. Ansonsten müßte die ganze Theorie auch strenger eingeführt und behandelt werden, und neben der Frage, ob das eigentlich im jeweiligen Fachbereich wirklich notwendig ist, ist es oft auch die Sache, dass das den Zeitrahmen sprengen würde. Von daher: Glücklich macht's mich natürlich nicht, aber leben kann ich auch mit sowas
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bastiane,
> Zeigen Sie, dass die Fouriertransformierte der
> 'Kammfunktion' [mm]s(t)=\summe_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT)[/mm]
> gegeben ist durch:
>
> [mm]s(\omega)=\br{2\pi}{T}\summe_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\br{2\pi k}{T})[/mm]
>
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab' das mit der Fouriertransformierten immer noch
> nicht so ganz verstanden. Welche
> der vielen Variante
> nehme ich denn jetzt? Woher weiß man das? Kann mir das
> vielleicht mal jemand erklären?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
ich kenne Deine theoretischen Grundlagen nicht, aber sofern ich mich nicht täusche, braucht man hier (jedenfalls zum Verständnis) schon einiges an Grundlagen; auch aus der Distributionentheorie.
Alles dazu findest Du jedenfalls in diesem Skript. Und nur mal so nebenbei:
Die Fourieranalysis ist schon ein (etwas) komplexe(re)s Teilgebiet der Mathematik. Alleine schon die [mm] $L^1$-, $L^2$-Theorie [/mm] bedurfte bei uns einer kompletten Vorlesung (natürlich nicht einer, sondern einer ganzsemestrigen). Und sie hatte bei uns Einzug in der Vorlesung Lineare Operatoren in Hilberträumen usw., und da braucht man (aus mathematischer Sicht) auch wieder Kenntnisse aus der Distributionentheorie; dazu findest Du auch etwas in obigem Skript.
Andernfalls wird's (evtl.) mathematisch unsauber, das fängt ja schon bei der Notation der Delta-Distribution an, siehe auch Wiki. Also wenn man mathematisch sauber arbeiten will, sollte man sich (z.B.) mit Distributionen auskennen...
Aber ich weiß nicht, wie weit/gut ihr dieses Thema mittlerweile überhaupt schon behandelt habt.
Gruß,
Marcel
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