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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:16 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Die Anzahl der Möglichkeiten, 100 als Summe von zwei oder mehr aufeinander folgenden ganzen Zahlen darzustellen, ist gleich...
Viel Spaß! 
Stefan
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Nur zum Verständnis:
Ist dabei
1+1+1+...+1+2
die selbe Lösung wie
2+1+1+...+1+1
oder ist sie doppelt zu zählen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 So 14.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo ImperatorM,
> Nur zum Verständnis:
> Ist dabei
> 1+1+1+...+1+2
> die selbe Lösung wie
> 2+1+1+...+1+1
> oder ist sie doppelt zu zählen?
Es soll sich ja um aufeinanderfolgende ganze Zahlen handeln und wir gehen davon aus, dass die Summanden in monoton anwachsender Reihenfolge genannt werden. Also: Wieviele [mm]n \in \IZ[/mm] und [mm]k \in \IN[/mm] gibt es mit
[mm]n + (n+1) + (n+2) + \ldots + (n+k-1) = 100[/mm] ?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Ich habe mal wieder mit Excel lange herumgerechnet und bekam 2 Möglichkeiten heraus:
[mm] $\summe_{i=9}^{16}$ [/mm] und [mm] $\summe_{i=18}^{22}$
[/mm]
(ist das so richitg geschrieben? Wir schreiben am Dienstag eine Klausur unter anderem über das Summenzeichen...)
Gruß,
Nalath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 So 21.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
> Ich habe mal wieder mit Excel lange herumgerechnet
Toll, dass du dir diese Arbeit machst!! Ich zeige dir gleich aber auch, wie man das ohne Computer lösen kann.
> und
> bekam 2 Möglichkeiten heraus:
> [mm] $\summe_{i=9}^{16}$ [/mm] und [mm] $\summe_{i=18}^{22}$
[/mm]
> (ist das so richitg geschrieben?
Erstens: Das sind richtige Möglichkeiten und alle Möglichkeiten die Zahl [mm]100[/mm] als Summe mindestens zweier natürlicher Zahlen darzustellen. Allerdings sind es nicht alle Lösungen, nach denen man gesucht hat, denn es ging um die Anzahl aller Möglichkeiten die Zahl [mm]100[/mm] als Summe mindestens zweier ganzer Zahlen darzustellen.
Zweitens: Die Schreibweise ist so nicht richtig. Das Summenzeichen alleine ist aussagelos. Du musst ja noch schreiben, was du summierst. Richtig wäre:
> [mm] $\summe_{i=9}^{16} [/mm] i$ und [mm] $\summe_{i=18}^{22} [/mm] i$.
Klar?
> Wir schreiben am Dienstag
> eine Klausur unter anderem über das Summenzeichen...)
Ich wünsche dir viel Glück und Erfolg! Wenn du Fragen dazu hast: Stelle sie einfach im Oberstufen-Form, Analysis.
Gleich folgt noch die Lösung der Aufgabe...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 21.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath, liebe sonstige Interessierte!
Ich habe mir eine Lösung überlegt, die ohne große Raterei auskommt. Ich denke mal das ist der eleganteste Weg.
Gesucht sind Zahlen [mm]k \in \IZ[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm], [mm]n \ge 2[/mm], mit
[mm]\sum\limits_{i=k}^{k+n-1} i =100[/mm].
Hierbei steht [mm]k[/mm] für den Anfangswert und [mm]n[/mm] für die Länge der Summe aufeinanderfolgender Zahlen.
Es gilt nun:
[mm]\sum\limits_{i=k}^{k+n-1} i =100[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \sum\limits_{i=0}^{k+n-1} i - \sum\limits_{i=0}^{k-1} i =100[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{(k+n)\cdot (k+n-1)}{2} - \frac{k \cdot (k-1)}{2} =100[/mm]
[mm]\Leftrightarrow k^2 + 2kn + n^2 - k - n - k^2 + k =200[/mm]
[mm]\Leftrightarrow n \cdot (n-1+2k) =200[/mm]
Gesucht sind also alle [mm]n \ge 2[/mm] und [mm]k \in \IZ[/mm], so dass [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]200[/mm] ist und [mm](n-1+2k)[/mm] der "Teilerpartner" ist.
Man sieht: Wenn [mm]n[/mm] gerade ist, dann ist [mm]n-1+2k[/mm] ungerade und wenn [mm]n[/mm] ungerade ist, dann ist [mm]n-1+2k[/mm] gerade. Daher sind nur solche Teilerpaare von [mm]200[/mm] zu suchen, wo einer der beiden Teiler gerade und der andere ungerade ist.
Davon gibt es (außer dem Paar [mm](n,n-1+2k)=(1,200)[/mm], was nicht erlaubt ist, da [mm]n\ge 2[/mm] gelten muss) genau fünf Stück:
1) [mm](n,n-1+2k)=(5,40) \Rightarrow k=18[/mm]
2) [mm](n,n-1+2k)=(8,25) \Rightarrow k = 9[/mm]
3) [mm](n,n-1+2k)=(25,8) \Rightarrow k= -8[/mm]
4) [mm](n,n-1+2k)=(40,5) \Rightarrow k=-17[/mm]
5) [mm](n,n-1+2k)=(100,1) \Rightarrow k=-99[/mm].
Die möglichen Summen sind also:
1) [mm]\sum\limits_{i=18}^{22} i = 100[/mm]
2) [mm]\sum\limits_{i=9}^{16} i = 100[/mm]
3) [mm]\sum\limits_{i=-8}^{16} i = 100[/mm]
(vergleiche mit 2): es werden einfach noch alle kleineren natürlichen Zahlen als [mm]9[/mm] mit ihrem additiven Inversen (Zahl mit negativen Vorzeichen) dazuaddiert, die sich natürlich alle wegheben)
4) [mm]\sum\limits_{i=-17}^{22} i =100[/mm]
(vergleiche mit 21: es werden einfach noch alle kleineren natürlichen Zahlen als [mm]18[/mm] mit ihrem additiven Inversen (Zahl mit negativen Vorzeichen) dazuaddiert, die sich natürlich alle wegheben)
5) [mm]\sum\limits_{i=-99}^{200} i = 100[/mm]
(hier werden einfach noch alle kleineren natürlichen Zahlen als [mm]100[/mm] mit ihrem additiven Inversen (Zahl mit negativen Vorzeichen) dazuaddiert, die sich natürlich alle wegheben)
Alles klar? Ansonsten bitte nachfragen!
Liebe Grüße
Stefan
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