matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeK^X Vektorraum
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - K^X Vektorraum
K^X Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

K^X Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Di 19.12.2017
Autor: gopro

Aufgabe
(a) Es seien X eine Menge und K ein Körper. Beweisen Sie, dass [mm] K^X [/mm] mit der Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum ist.
(b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm] C^R. [/mm] Welche der folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
(i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
(ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
(iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.


Hey,

bei der a) muss man ja Assoziatität, Kommutativität, Nullelement und Inverse bezgl. + zeigen und bzgl. * muss gelten: mit a,b [mm] \in [/mm] K: (a+b)*x=ax+bx, a(x+y)= ax+ay, (ab)x=a(bx) und 1x=x.
Nun habe ich keinen Plan, wie ich das bei [mm] K^x [/mm] zeigen soll, es wäre nett wenn mir einer nur ein paar von den oben genannten Dingen beispielhaft zeigen würde, den Rest schaffe ich dann bestimmt selbst :).

bei der b) sind die Kriterien ja der Nullvektor und das x+y und ax mit x [mm] \in [/mm] K auch in den Untervektorräumen sind. Wie kann ich das jetzt in den komplexen Zahlen zeigen???

        
Bezug
K^X Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Di 19.12.2017
Autor: angela.h.b.


> (a) Es seien X eine Menge und K ein Körper. Beweisen Sie,
> dass [mm]K^X[/mm] mit der Addition und Skalarmultiplikation ein
> K-Vektorraum ist.

Hallo,

[mm] K^X [/mm] ist ja die Menge, welche Abbildungen von X nach K enthält.

Die Addition von Funktionen und Multiplikation von Funktionen mit Körperelementen wurden in der Vorlesung gewiß definiert:

Für [mm] f,g\in K^X [/mm] gilt:
[mm] f+g\in K^X [/mm] mit (f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle [mm] x\in [/mm] X,
(k*f)(x)=k*f(x) für alle [mm] k\in [/mm] K, [mm] f\in K^X. [/mm]


Assoziativität:

zu zeigen ist: für [mm] f,g,\in K^X [/mm] gilt
(f+g)+h=f+(g+h).

Dafür mußt Du vorrechnen, daß für alle [mm] x\in [/mm] X gilt

((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x).

Hierfür mußt Du die Definitionen verwenden, sowie die Rechengesetze im Körper K.

So: seien f,g,h [mm] \in [/mm] K, sei [mm] x\in [/mm] X.

Es ist

[mm] ((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)\qquad//qquad [/mm] Def. der Addition von Funktionen

=(f(x)+g(x))+h(x) [mm] \qquad//qquad [/mm] Def. der Addition von Funktionen

=f(x)+(g(x)+(x)) [mm] \qquad//qquad [/mm] Assziativgesetz in K

[mm] \vdots [/mm]


Die Kommutativität bekommst Du danach dann sicher auch hin.

Fürs neutrale Element überlege Dir, welche Funktion es tut, und rechne vor, daß sie es tut.

Wenn Du das hast, packst Du auch das inverse Element.

Leg einfach mal los jetzt, wenn es noch Probleme gibt, helfen wir weiter.

LG Angela












> (b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm]C^R.[/mm] Welche der
> folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
> (i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
> (ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
> (iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.
> Hey,

>

> bei der a) muss man ja Assoziatität, Kommutativität,
> Nullelement und Inverse bezgl. + zeigen und bzgl. * muss
> gelten: mit a,b [mm]\in[/mm] K: (a+b)*x=ax+bx, a(x+y)= ax+ay,
> (ab)x=a(bx) und 1x=x.
> Nun habe ich keinen Plan, wie ich das bei [mm]K^x[/mm] zeigen soll,
> es wäre nett wenn mir einer nur ein paar von den oben
> genannten Dingen beispielhaft zeigen würde, den Rest
> schaffe ich dann bestimmt selbst :).

>

> bei der b) sind die Kriterien ja der Nullvektor und das x+y
> und ax mit x [mm]\in[/mm] K auch in den Untervektorräumen sind. Wie
> kann ich das jetzt in den komplexen Zahlen zeigen?


Bezug
                
Bezug
K^X Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:23 Mi 20.12.2017
Autor: gopro

Vielen vielen Dank angela,

durch deine Hilfe habe ich die komplette a lösen können :-)).

Jetzt müsste mir nur noch jemand bei der b weiterhelfen.?

(b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm] C^R. [/mm] Welche der folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
(i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
(ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
(iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.

Bezug
                        
Bezug
K^X Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Mi 20.12.2017
Autor: fred97


> Vielen vielen Dank angela,
>  
> durch deine Hilfe habe ich die komplette a lösen können
> :-)).
>  
> Jetzt müsste mir nur noch jemand bei der b weiterhelfen.?
>  
> (b) Wir betrachten den C-Vektorraum V = [mm]C^R.[/mm]



>  Welche der
> folgenden Mengen ist Untervektorraum von V?
> (i) A = {f ∈ V : f (1) = 0},
> (ii) B = {f ∈ V : f (0) = 1},
> (iii) C = {f ∈ V : ∃c > 0 ∀x ∈R: |f (x)|≤ c}.  


Dann nehmen wir doch mal f,g [mm] \in [/mm] A und ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] her.

Die Frage ist, ob dann auch [mm] \alpha [/mm] f und f+g in A liegen.

Prüfe nun Du, ob [mm] (\alpha [/mm] f)(1)=0 und (f+g)(1)=0 ist. Ist beides der Fall, so ist A ein  Untervektorraum von V, anderenfalls nicht.

zu B: enthält denn B denn Nullvektor aus V ?

zu C: nehmen wir uns doch mal f,g [mm] \in [/mm] C und ein [mm] \alpha \in \IC [/mm] her.

Gibt es dann [mm] $c_1,c_2 [/mm] >0$ mit

  |(f+g)(x)| [mm] \le c_1 [/mm] für all x [mm] \in \IR [/mm] und |( [mm] \alpha f)(x)|\le c_2 [/mm] für all x [mm] \in \IR [/mm] ?

Wenn ja, so ist C ein Untervektorraum von V, anderenfalls nicht.

Bezug
                                
Bezug
K^X Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Mi 20.12.2017
Autor: gopro

Ok,

dann müsste i) ja ein Untervektorraum sein, da das Nullelement existiert (da f(1)=0) und es gilt:
(a*f)(1)=a*f(1)=a*0=0 und
(g+f)(1)=g(1)+f(1)=0+0=0

ii) ist keine Unterraum da f(0)=1 nicht 0 wird und somit keine neutrales Element existiert!

iii)hier bin ich mir etwas unsicher, aber ich glaube, dass kein Unterraum existiert. Das Nullelement gibt es da f(0)=0<c gilt, aber
[mm] |(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|\le [/mm] |f(x)| + |g(x)| [mm] \le [/mm] c1 +c1 [mm] \not=c1 [/mm] ?

und |(a*f)(x)|=|(a*f(x)|= |a|*|f(x)| [mm] \le [/mm] |a|*c2 [mm] \not=c2 [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
K^X Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mi 20.12.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

> dann müsste i) ja ein Untervektorraum sein, da das
> Nullelement existiert von V,

die Funktion [mm] n:\IR\to \IC [/mm] mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
in A ist

> (da f(1)=0) und es gilt:
> (a*f)(1)=a*f(1)=a*0=0 und
> (g+f)(1)=g(1)+f(1)=0+0=0

Genau.

>

> ii) ist keine Unterraum

da die Funktion [mm] n:\IR\to \IC [/mm] mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
in A ist, da n(0)=0.

> da f(0)=1 nicht 0 wird und somit
> keine neutrales Element existiert!


>

> iii)hier bin ich mir etwas unsicher, aber ich glaube, dass
> kein Unterraum existiert. Das Nullelement gibt es

von V,
die Funktion [mm] n:\IR\to \IC [/mm] mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
ist in C,

> da
> f(0)=0<c gilt,

Na, für c=0 oder c=-3 stimmt das aber nicht!

Es ist in C, weil für alle [mm] x\in \IR [/mm] z.B. gilt

n(x)=0<1234.




> aber

Seien [mm] f,g\in [/mm] C.

dann gibt es [mm] c_1,c_2 [/mm] > 0 mit [mm] |f(x)|

> [mm]|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|\le[/mm] |f(x)| + |g(x)| [mm]\le[/mm] c1 +c1
> [mm]\not=c1[/mm] ?

Das macht doch nichts! Du hast ein [mm] c_3>0 [/mm] gefunden, nämlich [mm] c_3=c_1+c_2, [/mm] so daß (f+g)(x)< [mm] c_3 [/mm] für alle [mm] x\in \IR. [/mm]

> und |(a*f)(x)|=|(a*f(x)|= |a|*|f(x)| [mm]\le[/mm] [mm] |a|*c_2 [/mm]

Und hier hast Du ebenfalls eine obere Schranke gefunden.

LG Angela

Bezug
                                                
Bezug
K^X Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Mi 20.12.2017
Autor: gopro

Vielen Dank für eure Hilfe, ich hab es geschaft :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]