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Forum "Uni-Lineare Algebra" - KDNF und KKNF
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KDNF und KKNF: verkürzte KDNF
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Do 28.10.2004
Autor: korsdal

hallo,
warum ist der ausdruck:

H [mm] \equiv [/mm] pq [mm] \vee \pr \vee [/mm] qr

eine kürzere Darstellung als

H [mm] \equiv [/mm] pqr [mm] \vee [/mm] pq [mm] \overline{r} \vee [/mm] p [mm] \overline{q} [/mm] r [mm] \vee \overline{p} [/mm] qr

von welcher regel geht unser prof da aus?


vielen dank

grüße
tim
        
Bezug
KDNF und KKNF: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Do 28.10.2004
Autor: Bastiane

Hallo Tim!
Eigentlich dachte ich, ich könnte dir helfen, aber da bleibt noch eine Frage offen:

> H [mm]\equiv[/mm] pq [mm]\vee \pr \vee[/mm] qr

Was heißt denn [mm]\vee \pr \vee[/mm]? Also, das [mm] \vee [/mm] kenne ich ja, aber zwei direkt hintereinander?

> H [mm]\equiv[/mm] pqr [mm]\vee[/mm] pq [mm]\overline{r} \vee[/mm] p [mm]\overline{q}[/mm] r
> [mm]\vee \overline{p}[/mm] qr

Ansonsten fällt mir zu diesem Ausdruck nur ein, dass es entweder der komplette Ausdruck pqr ist, oder genau eins dieser drei nicht, also entweder nicht p, nicht q oder nicht r.

Die "normalen" Umformungsregeln, also Gesetze der Aussagenlogik, wie zum Beispiel auch die DeMorgan-Gesetze kennst du aber, oder?
Und übrigens: vielleicht ist deine Aufgabe bei den Informatikern besser aufgehoben? ;-)

Viele Grüße
:-)
Bezug
        
Bezug
KDNF und KKNF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 So 31.10.2004
Autor: Marc

Hallo Tim,

[willkommenmr]

>  warum ist der ausdruck:
>  
> H [mm]\equiv[/mm] pq [mm]\vee \pr \vee[/mm] qr

Wie ich aus dem Quelltext jetzt erst gesehen habe, meinst du wohl:

[mm] $H\equiv [/mm] pq [mm] \vee [/mm] pr [mm] \vee [/mm] qr$

> eine kürzere Darstellung als
>  
> H [mm]\equiv[/mm] pqr [mm]\vee[/mm] pq [mm]\overline{r} \vee[/mm] p [mm]\overline{q}[/mm] r [mm]\vee \overline{p}[/mm] qr
>  
> von welcher regel geht unser prof da aus?

Dass es eine kürzere Darstellung als die (kanonische) disjunktive Normalform ist, dürfte klar sein :-)
Dir geht es wohl darum, wie man die KDNF ermitteln kann.

Das ist in diesem Fall recht einfach, mit folgender Regel der Booleschen Algebra:

[mm] $a=ab\vee a\overline{b}$ [/mm]

(Diese Regel folgt so: [mm] $a=a\wedge 1=a\wedge(b\vee \overline{b})=a\wedge b\vee a\wedge\overline{b}$) [/mm]

Wenn du das auf deinen ersten Ausdruck anwendest erhältst du:

[mm] $H\equiv [/mm] pq [mm] \vee [/mm] pr [mm] \vee [/mm] qr$
[mm] $=\underbrace{pqr\vee pq\overline{r}}_{=pq} \vee \underbrace{pqr\vee p\overline{q}r}_{=pr} \vee \underbrace{pqr\vee\overline{p}qr}_{=qr}$ [/mm]

Nun ist natürlich ("Idempotenz") [mm] $pqr\vee [/mm] pqr=pqr$:

[mm] $=pqr\vee pq\overline{r} \vee p\overline{q}r \vee\overline{p}qr$ [/mm]

Bei Unklarheiten frage bitte einfach nach :-)

Viele Grüße,
Marc


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