K2 nicht geordnet < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Do 04.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | | Es sei K2 = {0,1} der in der Vorlesung definierte zweielementige Körper mit den entsprechenden Verknüpfungen + und *. Zeigen Sie, dass K2 nicht angeordnet werden kann, d.h. es gibt keine Ordnungsrelation O mit der K2 ein geordneter Körper ist. |
Hi,
was mir als erstes nicht sonderlich "geordnet" erschien war die Tatsache dass in K2 1+1=0 gilt.
Darf ich mich nun auf das Ordnungsaxiom O1 stürzen:
x<y => x+z < y+z
und sagen: x=0, y=z=1
damit x=0<y=1 aber x+z=0+1=1 > y+z=1+1=0
Wäre das damit schon bewiesen dass diese beiden Elemente keinen geordneter Körper bilden können?
Sollte ich doch iwie auf dem Holzweg sein bitte ich um ne kleine Starthilfe ;)
lg Bastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Bastian!
> Es sei K2 = {0,1} der in der Vorlesung definierte
> zweielementige Körper mit den entsprechenden
> Verknüpfungen + und *. Zeigen Sie, dass K2 nicht
> angeordnet werden kann, d.h. es gibt keine Ordnungsrelation
> O mit der K2 ein geordneter Körper ist.
>
> Hi,
> was mir als erstes nicht sonderlich "geordnet" erschien
> war die Tatsache dass in K2 1+1=0 gilt.
>
> Darf ich mich nun auf das Ordnungsaxiom O1 stürzen:
> x<y => x+z < y+z
>
> und sagen: x=0, y=z=1
> damit x=0<y=1 aber x+z=0+1=1 > y+z=1+1=0
> Wäre das damit schon bewiesen dass diese beiden Elemente
> keinen geordneter Körper bilden können?
Ja.
(Falls ihr $1 > 0$ als Axiom oder Folgerung hattet. Andernfalls folgt analog wie gerade, dass aus $1 < 0$ auch $0 < 1$ folgt.)
Es gilt also $0 < 1$ und $1 < 0$, und das ist ein Widerspruch zu Axiom O...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Do 04.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
Hi Felix,
danke für die Antwort.
1>0 wurde noch nirgends festgelegt, unser Dozent versäumt leider n bisschen uns weg von dem bekannten Arbeiten mit Zahlen, hin zu abstrakteren Denkweisen zu führen, sodass ich an der Stelle wieder n bisschen schlampig war :|
Also genügt es dann die beiden Fälle 0<1 und 0>1 anzuschauen und zu zeigen, dass dann gelten würde 0<1 => 1<0 bzw 0>1 => 1>0, also jeweils Widersprüche entstehen? Ist 0=1 ausgeschlossen weil das eine das neutrale Element der Addition und das andere das der Multiplikation ist?
lg und erstmal gute Nacht ;)
Bastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Fr 05.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
, dass 0 und 1 verschiedene elemente sind geht schon daraus hervor, dass es eine 2 elementige Menge ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Fr 05.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Bastian,
> Ist 0=1 ausgeschlossen weil das eine das neutrale Element
> der Addition und das andere das der Multiplikation ist?
in Koerpern fordert man im Allgemeinen, dass $0 [mm] \neq [/mm] 1$ ist. (Andernfalls bestaende der Koerper nur aus einem Element.)
Oft versteckt sich dieses Axiom ein wenig, etwa wenn man schreibt dass $K [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] eine Gruppe bzgl. der Multiplikation sein soll. Dann muss das neutrale Element 1 kein Element von [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] sein, also ist $0 [mm] \neq [/mm] 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Fr 05.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
Moin,
ok alles klar :)
Danke für eure Hilfe
lg
Bastian
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