K-Vektorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei $W$ ein K-Vektorraum und $X$ eine nichtleere Menge. Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $W^X$ [/mm] aller Abbildungen [mm] $f:X\to [/mm] W$ ein K-Vektorraum ist, wenn man setzt:
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ (1)
$(fa)(x)=f(x)a$ (2)
für $f, [mm] g\in W^X, a\in [/mm] K, [mm] x\in [/mm] X$ |
Hi, ich wollte fragen ob ich hier richtig vorgegangen sind.
Es sind ja die Eigenschaften eines K-Vektorraumes zu prüfen, also:
$v,w [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $a,b\in [/mm] K$
I) (v+w)a=va+wa
II) v(a+b)=va+vb
III) v(ab)=(va)b
IV) [mm] $v\cdot [/mm] 1=v$
So bin ich vorgegangen:
I)
[mm] (f+g)(x)\cdot [/mm] a=(f(x)+g(x))a (1)
=f(x)a+g(x)a (2)
=(fa)(x)+(ga)(x) (2)
II)
f(x)(a+b)=(f(a+b))(x) (2)
=(fa+fb)(x)
=(fa)(x)+(fb)(x) (1)
III)
(f(ab))(x)=(fa)(x)b (2)
IV)
[mm] $f(x)\cdot 1=(f\cdot [/mm] 1)(x)=f(x)$ (2)
(1) und (2) bezeichnet hier welche Eigenschaft ich angewendet habe.
Ich hoffe, dass geht in die richtige Richtung.
Über Hilfe freue ich mich.
mfg
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Hallo,
> Sei [mm]W[/mm] ein K-Vektorraum und [mm]X[/mm] eine nichtleere Menge. Zeigen
> Sie, dass die Menge [mm]W^X[/mm] aller Abbildungen [mm]f:X\to W[/mm] ein
> K-Vektorraum ist, wenn man setzt:
>
> [mm](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/mm] (1)
> [mm](fa)(x)=f(x)a[/mm] (2)
>
> für [mm]f, g\in W^X, a\in K, x\in X[/mm]
> Hi, ich wollte fragen ob
> ich hier richtig vorgegangen sind.
> Es sind ja die Eigenschaften eines K-Vektorraumes zu
> prüfen, also:
>
> [mm]v,w \in V[/mm] und [mm]a,b\in K[/mm]
>
> I) (v+w)a=va+wa
Wie ist denn die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar definiert?
Ich kenne nur die Variante Multiplikation Skalar mit Vektor, also $a(v+w)=av+aw$
> II) v(a+b)=va+vb
> III) v(ab)=(va)b
> IV) [mm]v\cdot 1=v[/mm]
>
Ich finde das komisch ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe es eigentlich so aufgeschrieben wie wir es auch in der Vorlesung hatten.
Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und sei [mm] $(K,+,\cdot)$ [/mm] ein Körper. Weiter sei eine Abbildung gegeben:
[mm] $V\times K\to [/mm] V$
[mm] (v,a)\mapsto [/mm] va
mit folgenden Eigenschaften:
I) Für alle v,w Element von V und a Element von K gilt
(v+w)a=va+wa
II) Für alle v Element von V und a,b Element von K gilt
v(a+b)=va+vb
usw.
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Hallo nochmal,
und was macht ihr, wenn die Vektoren zB. Matrizen sind?
Wie ist denn [mm] $A\cdot{}\lambda$ [/mm] definiert für [mm] $A\in Mat(m\times n,\IR), \lambda\in\IR$ [/mm] ?
Wieso müssen manche Profs das immer gegen den Strom definieren? Mann Mann ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Das kann ich dir leider nicht beantworten, warum er es gerade so definiert hat.
Matrizen hatten wir jedenfalls bisher noch nicht. Vielleicht kommt dann noch was.
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Hallo,
> Sei [mm]W[/mm] ein K-Vektorraum und [mm]X[/mm] eine nichtleere Menge. Zeigen
> Sie, dass die Menge [mm]W^X[/mm] aller Abbildungen [mm]f:X\to W[/mm] ein
> K-Vektorraum ist, wenn man setzt:
>
> [mm](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/mm] (1)
> [mm](fa)(x)=f(x)a[/mm] (2)
>
> für [mm]f, g\in W^X, a\in K, x\in X[/mm]
> Hi, ich wollte fragen ob
> ich hier richtig vorgegangen sind.
> Es sind ja die Eigenschaften eines K-Vektorraumes zu
> prüfen, also:
>
> [mm]v,w \in V[/mm] und [mm]a,b\in K[/mm]
>
> I) (v+w)a=va+wa
> II) v(a+b)=va+vb
> III) v(ab)=(va)b
> IV) [mm]v\cdot 1=v[/mm]
>
> So bin ich vorgegangen:
>
> I)
>
> [mm](f+g)(x)\cdot[/mm] a
Nein, du betrachtest hier [mm] $(f+g)\cdot{}a$ [/mm] als Element im Vektorraum, also ist [mm] $[(f+g)\cdot{}a](x)=...=(f\cdot{}a)(x)+(g\cdot{}a)(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$ zu zeigen, damit gilt dann [mm] $(f+g)\cdot{}a=f\cdot{}a+g\cdot{}a$
[/mm]
> =(f(x)+g(x))a (1)
> =f(x)a+g(x)a (2)
> =(fa)(x)+(ga)(x) (2)
>
> II)
>
> f(x)(a+b)
Wieder ungenau!
$(f(a+b))(x)=...=(fa)(x)+(fb)(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$ ist zu zeigen ...
> =(f(a+b))(x) (2)
> =(fa+fb)(x)
> =(fa)(x)+(fb)(x) (1)
>
> III)
>
> (f(ab))(x)
Hier machst du den Ansatz richtig!
> =(fa)(x)b (2)
ist das nicht erstmal $f(x)(ab)$ nach (2)?
Das solltest du mehr aufdröseln ...
>
> IV)
>
> [mm]f(x)\cdot 1=(f\cdot 1)(x)=f(x)[/mm] (2)
Das ist etwas verdreht ...
zu zeigen ist ja: [mm] $f\cdot{}1=f$, [/mm] also [mm] $(f\cdot{}1)(x)=f(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$
[mm] $(f\cdot{}1)(x)=f(x)\cdot{}1$ [/mm] nach (2)
$=f(x)$, da die hintere 1 die 1 aus K ist ...
>
> (1) und (2) bezeichnet hier welche Eigenschaft ich
> angewendet habe.
> Ich hoffe, dass geht in die richtige Richtung.
>
> Über Hilfe freue ich mich.
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 02.01.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah okay, dann bin ich größtenteils mit der Schreibweise durcheinander gekommen. Werde dies ausbessern.
Bei III) dachte ich, dass es mehr oder weniger direkt folgt, werde dies weiter aufdröseln.
Dann ist es ja schon mal ein Triumph, dass es vom Ansatz her eigentlich korrekt war.
Danke für die Kontrolle, ich denke die Ausbesserung werde ich nun ohne Probleme hinbekommen.
:)
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