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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | Sei R eine K-Algebra und A [mm] \in [/mm] R. Sei [mm] \varphi [/mm] : K[X] [mm] \rightarrow [/mm] R, g [mm] \mapsto [/mm] g(A).
Sei K[A] das Bild von [mm] \varphi. [/mm] Zeigen Sie:
K[X] [mm] \cong [/mm] K[A] [mm] \Leftrightarrow [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] sind [mm] A^0 [/mm] , [mm] A^1 [/mm] , ... [mm] A^n [/mm] linear unabhängig über K. |
Hallo!
Hab leider mal wieder überhaupt keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Was bedeutet das Zeichen [mm] \cong [/mm] ? Unter K[X] stell ich mir Polynome vor, also hat der Körper K[X] als Basis [mm] X^0, X^1,... X^n [/mm] , oder? Kann man dann nicht einfach so argumentieren (ich geh jetzt mal davon aus, dass [mm] \cong [/mm] sowas bedeutet wie "entspricht"):
[mm] "\Rightarrow" [/mm] K[X] [mm] \cong [/mm] K[A] [mm] \Rightarrow X^0, X^1, [/mm] ..., [mm] X^n \cong A^0, A^1, [/mm] ... [mm] A^n. [/mm] Da [mm] X^0, X^1, [/mm] ..., [mm] X^n [/mm] basis von K[X] sind sie l.u. und gilt [mm] X^0, X^1, [/mm] ..., [mm] X^n \cong A^0, A^1, [/mm] ... [mm] A^n [/mm] sind auch [mm] A^0, A^1, [/mm] ... [mm] A^n [/mm] l.u. und bilden Basis von K[A].
[mm] "\Leftarrow" [/mm] keine Ahnung ;)
Vlg und danke schonmal für die Mühe,
Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Sa 04.02.2006 | | Autor: | moudi |
> Sei R eine K-Algebra und A [mm]\in[/mm] R. Sei [mm]\varphi[/mm] : K[X]
> [mm]\rightarrow[/mm] R, g [mm]\mapsto[/mm] g(A).
> Sei K[A] das Bild von [mm]\varphi.[/mm] Zeigen Sie:
> K[X] [mm]\cong[/mm] K[A] [mm]\Leftrightarrow[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] sind
> [mm]A^0[/mm] , [mm]A^1[/mm] , ... [mm]A^n[/mm] linear unabhängig über K.
> Hallo!
> Hab leider mal wieder überhaupt keine Ahnung, wie ich bei
> dieser Aufgabe anfangen soll. Was bedeutet das Zeichen
> [mm]\cong[/mm] ?
[mm] $\cong$ [/mm] bedeutet in diesem Fall Isomorphie. Der Polynomring K[X] ist isomorph zum Bild K[A], genau dann, wenn die Elemente $A, [mm] A^2, A^3, \dots$ [/mm] in der K-Algebra linear unabhängis sind (jede K-Algebra ist auch ein K-Vektorrraum).
Der Homomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] ist auch ein Vektorraumhomomorphismus. Von dem her ist es "klar", dass [mm] $\varphi$ [/mm] genau dann ein Isomorphismus ist, wenn [mm] $\ker(\varphi)=0$ [/mm] ist. Und das ist genau dann der Fall, wenn $A, [mm] A^2, A^3, \dots$ [/mm] linear unabhängig in R sind (Details selber überlegen).
mfG Moudi
> Unter K[X] stell ich mir Polynome vor, also hat
> der Körper K[X] als Basis [mm]X^0, X^1,... X^n[/mm] , oder? Kann man
> dann nicht einfach so argumentieren (ich geh jetzt mal
> davon aus, dass [mm]\cong[/mm] sowas bedeutet wie "entspricht"):
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] K[X] [mm]\cong[/mm] K[A] [mm]\Rightarrow X^0, X^1,[/mm] ...,
> [mm]X^n \cong A^0, A^1,[/mm] ... [mm]A^n.[/mm] Da [mm]X^0, X^1,[/mm] ..., [mm]X^n[/mm] basis
> von K[X] sind sie l.u. und gilt [mm]X^0, X^1,[/mm] ..., [mm]X^n \cong A^0, A^1,[/mm]
> ... [mm]A^n[/mm] sind auch [mm]A^0, A^1,[/mm] ... [mm]A^n[/mm] l.u. und bilden Basis
> von K[A].
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> [mm]"\Leftarrow"[/mm] keine Ahnung ;)
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> Vlg und danke schonmal für die Mühe,
> Kiki
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