Juhuu!Eine Extremwertaufgabe! < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Kylie04 |
Hallo!
Die Aufgabe lautet:
Bestimme auf dem Schaubild der Funktion f mit f(x)=x(x-3)² denjenigen punkt P(u|v) mit $0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 3$ , für den das Dreieck mit den Ecken $P _{1} (0|0) , [mm] P_{2} [/mm] (u|0)$, und P den maximalen Flächeninhalt hat.
Lösungsansatz:
Es gibt natürlich eine Zielfunktion und zwar $A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * h *c $ (Inhalt v. Dreieck) . In diese muss man die Bedingungen einsetzen , so dass es nur eine Variable gibt. Dann bestimmt man die Hochpunkte.
Aber ich weiß nicht genau ich die Bedingungen beschreiben soll.
Wie soll ich zum Beispiel bescheiben,dass u zwischen 0 und 3 liegt..?
Vielen Dank für eure Hilfe!
(habe diese frage in keinem anderem forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kylie!
Die Bedingung $0 \ < \ u \ < \ 3$ kannst Du zunächst ignorieren. Das spielt erst eine Rolle, wenn Du einen möglichen Extremwert [mm] $u_e$ [/mm] ermittelt hat zur Kontrolle.
Zur Zielfunktion ...
Wie groß ist denn Deine Grundseite des Dreieckes? Das ist doch der Abstand des Ursprunges bis zum Punkt [mm] $P_2 [/mm] \ ( \ u \ | \ 0 \ )$.
Es gilt also:$c \ = \ u - 0 \ = \ u$
Zudem haben wir hier ein rechtwinkliges Dreieck mit der vertikalen Dreiecksseite als Höhe. Diese Höhe $h_$ ist ja nun der Absatnd des Punktes [mm] $P_3 [/mm] \ ( \ u \ | \ f(u) \ )$ von der x-Achse:
$h \ = \ f(u) - 0 \ = \ f(u) \ = \ [mm] u*(u-3)^2$
[/mm]
Dies setzen wir nun in die Hauptbedingung ein und erhalten unsere Zielfunktion:
$A(u) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*u*u*(u-3)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*u^2*(u-3)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*u^2*\left(u^2-6u+9\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(u^4-6u^3+9u^2\right)$
[/mm]
Die Extremwertberechnung mit Nullstellen der 1. Ableitung etc. schaffst Du doch nun alleine, oder?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Kylie04 |
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich hatte auch dieses Ergebnis, aber ich dachte es wäre falsch weil es so einfach ausgesehen hat.Wusste nicht dass man das vernachlässigen kann mit der 0 und der 3.
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