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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Do 11.07.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | | Zu [mm] $A=\begin{pmatrix}2&0&0&1\\0&0&-1&0\\-1&0&1&-1\\0&1&1&1\end{pmatrix}$ [/mm] soll die Jordansche Normalform [mm] $J_A$ [/mm] und die Basiswechselmatrix [mm] $S\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ [/mm] mit [mm] $J_A=S^{-1}AS$ [/mm] bestimmt werden. |
Hallo zusammen,
irgendwie verzweifle ich gerade an dieser Matrix. Ich bekomme es nicht hin, eine Basiswechselmatrix zu bestimmen. Könnt ihr mir hier vielleicht behilflich sein? Bis jetzt habe ich Folgendes gemacht:
1 ist vierfacher Eigenwert von A.
Ich habe daraufhin den Eigenraum bestimmt:
[mm] $\ker (I_4-A)=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t\right)$
[/mm]
Und [mm] $\ker (I_4-A)^2=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t,(0,0,-1,1)^t\right)=\ker (I_4-A)\cup\mathcal{L}\left((0,1,-1,0)^t\right)$, [/mm] sowie [mm] $\ker (I_4-A)^3=\mathbb{R}^4$. [/mm]
Demnach komme ich für [mm] $J_A$ [/mm] auf:
[mm] $J_A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt zur Basiswechselmatrix:
Soweit ich weiß müsste das in diesem Fall so funktionieren: Man wählt einen Vektor aus [mm] $\ker (I_4-A)^3\setminus\ker (I_4-A)^2$, [/mm] also beispielsweise [mm] $b_4=(0,0,0,1)^t$. [/mm] Dann habe ich schon von min. zwei Vorgehensweisen gelesen:
1. [mm] $b_3=(I_4-A)^2b_4$ [/mm] und [mm] $b_2=(I_4-A)b_4$, $b_1$ [/mm] wählt man aus [mm] $\ker(I_4-A)$, [/mm] so dass [mm] $b_1, \dotsc, b_4$ [/mm] eine Basis des [mm] $\mathbb{R}^4$ [/mm] bildet und setzt [mm] $S=\left(b_1, b_2, b_3, b_4\right)$. [/mm]
2. [mm] $b_3=(I_4-A)b_4$ [/mm] und [mm] $b_2=(I_4-A)b_3$, $b_1$ [/mm] wählt man aus [mm] $\ker(I_4-A)$, [/mm] so dass [mm] $b_1, \dotsc, b_4$ [/mm] eine Basis des [mm] $\mathbb{R}^4$ [/mm] bildet und setzt [mm] $S=\left(b_1, b_2, b_3, b_4\right)$. [/mm]
Irgendwie scheint aber keine der beiden Möglichkeiten zu funktionieren. Wenn ich die erhaltene Matrix entsprechend mit $A$ multipliziere kommt etweder kompletter Schwachsinn raus, oder ich bekomme etwas, was so ähnlich aussieht wie mein [mm] $J_A$, [/mm] wobei aber manche Einträge falsche Vorzeichen haben (gerechnet mit Mathematica).
Was mache ich hier falsch, und gibt es irgendwo eine wirklich idiotensichere Anleitung zur Bestimmung der Basiswechselmatrix, die wirklich immer das gewünschte Ergebnis liefert?
EDIT: [mm] $(I_4-A)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, (I_4-A)^2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
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> Zu
> [mm]A=\begin{pmatrix}2&0&0&1\\0&0&-1&0\\-1&0&1&-1\\0&1&1&1\end{pmatrix}[/mm]
> soll die Jordansche Normalform [mm]J_A[/mm] und die
> Basiswechselmatrix [mm]S\in\mathbb{R}^{4\times 4}[/mm] mit
> [mm]J_A=S^{-1}AS[/mm] bestimmt werden.
> Hallo zusammen,
> irgendwie verzweifle ich gerade an dieser Matrix. Ich
> bekomme es nicht hin, eine Basiswechselmatrix zu bestimmen.
> Könnt ihr mir hier vielleicht behilflich sein? Bis jetzt
> habe ich Folgendes gemacht:
>
> 1 ist vierfacher Eigenwert von A.
> Ich habe daraufhin den Eigenraum bestimmt:
>
> [mm]\ker (I_4-A)=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t\right)[/mm]
>
> Und [mm]\ker (I_4-A)^2=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t,(0,0,-1,1)^t\right)=\ker (I_4-A)\cup\mathcal{L}\left((0,1,-1,0)^t\right)[/mm],
> sowie [mm]\ker (I_4-A)^3=\mathbb{R}^4[/mm].
>
> Demnach komme ich für [mm]J_A[/mm] auf:
>
> [mm]J_A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt zur Basiswechselmatrix:
>
> Soweit ich weiß müsste das in diesem Fall so
> funktionieren: Man wählt einen Vektor aus [mm]\ker (I_4-A)^3\setminus\ker (I_4-A)^2[/mm],
> also beispielsweise [mm]b_4=(0,0,0,1)^t[/mm]. Dann habe ich schon
> von min. zwei Vorgehensweisen gelesen:
>
> 1. [mm]b_3=(I_4-A)^2b_4[/mm] und [mm]b_2=(I_4-A)b_4[/mm], [mm]b_1[/mm] wählt man aus
> [mm]\ker(I_4-A)[/mm], so dass [mm]b_1, \dotsc, b_4[/mm] eine Basis des
> [mm]\mathbb{R}^4[/mm] bildet und setzt [mm]S=\left(b_1, b_2, b_3, b_4\right)[/mm].
Hallo,
das klingt doch vernünftig, und ich wundere mich, daß es nicht klappt.
Vielleicht magst Du mal vorrechnen.
> Was mache ich hier falsch, und gibt es irgendwo eine
> wirklich idiotensichere Anleitung zur Bestimmung der
> Basiswechselmatrix, die wirklich immer das gewünschte
> Ergebnis liefert?
Google mal nach "Kochen mit Jordan".
Gleich das erste Ergebnis ist's.
Ich find's idiotensicher. Einzig muß man die sich aus [mm] v_i [/mm] ergebenden Basisvektoren jeweils genau in umgekehrter Reihenfolge anordnen, wenn man die Einsen über der Hauptdiagonalen haben will und nicht darunter.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 11.07.2013 | | Autor: | Lustique |
> > Zu
> >
> [mm]A=\begin{pmatrix}2&0&0&1\\0&0&-1&0\\-1&0&1&-1\\0&1&1&1\end{pmatrix}[/mm]
> > soll die Jordansche Normalform [mm]J_A[/mm] und die
> > Basiswechselmatrix [mm]S\in\mathbb{R}^{4\times 4}[/mm] mit
> > [mm]J_A=S^{-1}AS[/mm] bestimmt werden.
> > Hallo zusammen,
> > irgendwie verzweifle ich gerade an dieser Matrix. Ich
> > bekomme es nicht hin, eine Basiswechselmatrix zu
> bestimmen.
> > Könnt ihr mir hier vielleicht behilflich sein? Bis
> jetzt
> > habe ich Folgendes gemacht:
> >
> > 1 ist vierfacher Eigenwert von A.
> > Ich habe daraufhin den Eigenraum bestimmt:
> >
> > [mm]\ker (I_4-A)=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t\right)[/mm]
>
> >
> > Und [mm]\ker (I_4-A)^2=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t,(0,0,-1,1)^t\right)=\ker (I_4-A)\cup\mathcal{L}\left((0,1,-1,0)^t\right)[/mm],
>
> > sowie [mm]\ker (I_4-A)^3=\mathbb{R}^4[/mm].
> >
> > Demnach komme ich für [mm]J_A[/mm] auf:
> >
> >
> [mm]J_A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Jetzt zur Basiswechselmatrix:
> >
> > Soweit ich weiß müsste das in diesem Fall so
> > funktionieren: Man wählt einen Vektor aus [mm]\ker (I_4-A)^3\setminus\ker (I_4-A)^2[/mm],
>
> > also beispielsweise [mm]b_4=(0,0,0,1)^t[/mm]. Dann habe ich schon
> > von min. zwei Vorgehensweisen gelesen:
> >
> > 1. [mm]b_3=(I_4-A)^2b_4[/mm] und [mm]b_2=(I_4-A)b_4[/mm], [mm]b_1[/mm] wählt man
> aus
> > [mm]\ker(I_4-A)[/mm], so dass [mm]b_1, \dotsc, b_4[/mm] eine Basis des
> > [mm]\mathbb{R}^4[/mm] bildet und setzt [mm]S=\left(b_1, b_2, b_3, b_4\right)[/mm].
>
> Hallo,
>
> das klingt doch vernünftig, und ich wundere mich, daß es
> nicht klappt.
> Vielleicht magst Du mal vorrechnen.
>
>
> > Was mache ich hier falsch, und gibt es irgendwo eine
> > wirklich idiotensichere Anleitung zur Bestimmung der
> > Basiswechselmatrix, die wirklich immer das gewünschte
> > Ergebnis liefert?
>
> Google mal nach "Kochen mit Jordan".
> Gleich das erste Ergebnis ist's.
> Ich find's idiotensicher. Einzig muß man die sich aus [mm]v_i[/mm]
> ergebenden Basisvektoren jeweils genau in umgekehrter
> Reihenfolge anordnen, wenn man die Einsen über der
> Hauptdiagonalen haben will und nicht darunter.
>
> LG Angela
Hallo Angela,
ich rechne:
Setze [mm] $b_4=(0,0,0,1)^t$. [/mm] Dann folgt mit der ersten Vorgehensweise: [mm] $b_3=(I_4-A)^2\cdot b_4=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\cdot b_4=\vektor{1\\1\\-1\\-1}$, $(I_4-A)\cdot b_3= (0,0,0,0)^t$. [/mm] Und da geht es ja dann schon nicht weiter...
Wahrscheinlich hapert es hier an einer Lappalie, aber ich komme trotzdem nicht weiter.
"Kochen mit Jordan" habe ich mir auch schon angeguckt (schon min. zum 2. Mal, aber immer wenn ich mal wieder weiß wies funktioniert, und ich brauche es für ein paar Wochen nicht, weiß ichs schon nicht mehr...), aber damit bin ich hier auch nicht weitergekommen.
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> > > Zu
> > >
> >
> [mm]A=\begin{pmatrix}2&0&0&1\\0&0&-1&0\\-1&0&1&-1\\0&1&1&1\end{pmatrix}[/mm]
> > > soll die Jordansche Normalform [mm]J_A[/mm] und die
> > > Basiswechselmatrix [mm]S\in\mathbb{R}^{4\times 4}[/mm] mit
> > > [mm]J_A=S^{-1}AS[/mm] bestimmt werden.
> > > Bis
> > jetzt
> > > habe ich Folgendes gemacht:
> > >
> > > 1 ist vierfacher Eigenwert von A.
> > > Ich habe daraufhin den Eigenraum bestimmt:
> > >
> > > [mm]\ker (I_4-A)=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t\right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und [mm]\ker (I_4-A)^2=\mathcal{L}\left((1,0,0,-1)^t,(0,1,-1,0)^t,(0,0,-1,1)^t\right)=\ker (I_4-A)\cup\mathcal{L}\left((0,1,-1,0)^t\right)[/mm],
>
> >
> > > sowie [mm]\ker (I_4-A)^3=\mathbb{R}^4[/mm].
> > >
> > > Demnach komme ich für [mm]J_A[/mm] auf:
> > >
> > >
> >
> [mm]J_A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
> > >
> > > Jetzt zur Basiswechselmatrix:
> > >
> > > Soweit ich weiß müsste das in diesem Fall so
> > > funktionieren: Man wählt einen Vektor aus [mm]\ker (I_4-A)^3\setminus\ker (I_4-A)^2[/mm],
>
> >
> > > also beispielsweise [mm]b_4=(0,0,0,1)^t[/mm]. Dann habe ich schon
> > > von min. zwei Vorgehensweisen gelesen:
> > >
> > > 1. [mm]b_3=(I_4-A)^2b_4[/mm] und [mm]b_2=(I_4-A)b_4[/mm], [mm]b_1[/mm] wählt
> man
> > aus
> > > [mm]\ker(I_4-A)[/mm], so dass [mm]b_1, \dotsc, b_4[/mm] eine Basis des
> > > [mm]\mathbb{R}^4[/mm] bildet und setzt [mm]S=\left(b_1, b_2, b_3, b_4\right)[/mm].
>
> ich rechne:
>
> Setze [mm]b_4=(0,0,0,1)^t[/mm]. Dann folgt mit der ersten
> Vorgehensweise: [mm]b_3=(I_4-A)^2\cdot b_4=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\cdot b_4=\vektor{1\\1\\-1\\-1}[/mm],
> [mm](I_4-A)\cdot b_3= (0,0,0,0)^t[/mm]. Und da geht es ja dann schon
> nicht weiter...
Hallo,
Du machst aber auch etwas anderes als das, was Du oben schriebst:
Du wolltest doch nun [mm] b_2=(I-A)b_{\red{4}} [/mm] ausrechnen.
Vielleicht war's das schon!
LG Angela
> Wahrscheinlich hapert es hier an einer Lappalie, aber ich
> komme trotzdem nicht weiter.
>
> "Kochen mit Jordan" habe ich mir auch schon angeguckt
> (schon min. zum 2. Mal, aber immer wenn ich mal wieder
> weiß wies funktioniert, und ich brauche es für ein paar
> Wochen nicht, weiß ichs schon nicht mehr...), aber damit
> bin ich hier auch nicht weitergekommen.
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 11.07.2013 | | Autor: | Lustique |
> Hallo,
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> Du machst aber auch etwas anderes als das, was Du oben
> schriebst:
>
> Du wolltest doch nun [mm]b_2=(I-A)b_{\red{4}}[/mm] ausrechnen.
> Vielleicht war's das schon!
>
> LG Angela
Hallo Angela, danke nochmal für deine Hilfe! Da habe ich wohl beide Verfahren durcheinandergeworfen... Also, nochmal richtig:
[mm] $b_4=(0,0,0,1)^t, \qquad b_3=(I_4-A)^2\cdot b_4 [/mm] = [mm] (1,1,-1,-1)^t, \qquad b_2=(I_4-A)\cdot b_4=(-1,0,1,0)^t$. [/mm]
Jetzt habe ich [mm] $b_1=(1,0,0,0)^t$ [/mm] gewählt. Damit komme ich auf
[mm] $S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] und
[mm] $S^{-1}AS=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] (laut Mathematica, also sollten das und die Inverse ja eigentlich stimmen...).
Und da ist ja nur im nicht-mathematischen Sinne ähnlich zu dem, was ich haben möchte. :/
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Hallo Lustique,
> > Hallo,
> >
> > Du machst aber auch etwas anderes als das, was Du oben
> > schriebst:
> >
> > Du wolltest doch nun [mm]b_2=(I-A)b_{\red{4}}[/mm] ausrechnen.
> > Vielleicht war's das schon!
> >
> > LG Angela
>
> Hallo Angela, danke nochmal für deine Hilfe! Da habe ich
> wohl beide Verfahren durcheinandergeworfen... Also, nochmal
> richtig:
>
> [mm]b_4=(0,0,0,1)^t, \qquad b_3=(I_4-A)^2\cdot b_4 = (1,1,-1,-1)^t, \qquad b_2=(I_4-A)\cdot b_4=(-1,0,1,0)^t[/mm].
>
>
> Jetzt habe ich [mm]b_1=(1,0,0,0)^t[/mm] gewählt. Damit komme ich
> auf
>
> [mm]S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und
>
In die letzte Spalte von S gehört doch ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
> [mm]S^{-1}AS=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> (laut Mathematica, also sollten das und die Inverse ja
> eigentlich stimmen...).
>
> Und da ist ja nur im nicht-mathematischen Sinne ähnlich zu
> dem, was ich haben möchte. :/
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Lustique |
Hallo Mathepower!
Ich habe jetzt nochmal meine Basiswechselmatrix "überarbeitet" und einen Eigenvektor als letzten Vektor genommen:
[mm] $S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $S^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt bekomme ich [mm] $S^{-1}AS=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, [/mm] obwohl ich davon ausgegangen bin, jetzt die Jordan-Matrix zu bekommen, mit 1-Block oben, 3-Block unten.
Jetzt habe ich mir mal die Lösung dazu angeguckt: Da wurden dieselben Vektoren, allerdings in einer anderen Reihenfolge gewählt:
[mm] $S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$, $S^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm] und
[mm] $S^{-1}AS=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ [/mm] wie gewünscht. Wo liegt dann oben der Fehler? Muss man für diese Vorgehensweise [mm] $(A-\lambda I_n)$ [/mm] (wie in der Lösung) statt (wie ich) [mm] $(\lambda I_n-A)$ [/mm] betrachten? Das sollte doch eigentlich keinen Unterschied machen, oder?
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Hallo Lustique,
> Hallo Mathepower!
>
> Ich habe jetzt nochmal meine Basiswechselmatrix
> "überarbeitet" und einen Eigenvektor als letzten Vektor
> genommen:
>
> [mm]S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/mm],
> [mm]S^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt bekomme ich [mm]S^{-1}AS=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm],
> obwohl ich davon ausgegangen bin, jetzt die Jordan-Matrix
> zu bekommen, mit 1-Block oben, 3-Block unten.
>
> Jetzt habe ich mir mal die Lösung dazu angeguckt: Da
> wurden dieselben Vektoren, allerdings in einer anderen
> Reihenfolge gewählt:
>
>
> [mm]S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}[/mm],
> [mm]S^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> und
>
> [mm]S^{-1}AS=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
> wie gewünscht. Wo liegt dann oben der Fehler? Muss man
Zum einen in der Reihenfolge der letzten 3 Vektoren.
> für diese Vorgehensweise [mm](A-\lambda I_n)[/mm] (wie in der
> Lösung) statt (wie ich) [mm](\lambda I_n-A)[/mm] betrachten? Das
> sollte doch eigentlich keinen Unterschied machen, oder?
Offenbar spielt dies hier doch eine Rolle.
Gruss
MathePower
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> Hallo Mathepower!
>
> Ich habe jetzt nochmal meine Basiswechselmatrix
> "überarbeitet" und einen Eigenvektor als letzten Vektor
> genommen:
>
> [mm]S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/mm],
Hallo,
Du hast doch jetzt in S
Eigenvektor [mm] \quad (I-A)b_4 \quad (I-A)^2b_4\quad b_4.
[/mm]
Du brauchst aber
Eigenvektor [mm] \quad (I-A)^2b_4 \quad (I-A)b_4\quad b_4
[/mm]
oder
[mm] (I-A)^2b_4 \quad (I-A)b_4\quad b_4 \quad [/mm] Eigenvektor.
LG Angela
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