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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mo 21.04.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Es sei [mm] A\in{M}(2\times2,\IC) [/mm] und det [mm] A\not=0. [/mm] Geben Sie (mit Begründung) alle möglichen Jordanschen Normalformen von A an. |
Die Jordansche Normalform hat ja auch die Größe [mm] 2\times2. [/mm] Also können höchstens zwei Jordanblöcke der Größe 1 auftreten, oder einer der größe 2. Im zweiten Fall kann "oben rechts" eine 1 oder eine 0 stehen, im ersten fall nur ein 0.
Stimmt das soweit? Kann man über die Elemente auf der Diagonale (also die Eigenwerte) noch was genaueres sagen, da ich die Matrix nicht kenne? Ist das charakteristische Polynom noch weiter zu präzisieren?
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Hallo side,
> Es sei [mm]A\in{M}(2\times2,\IC)[/mm] und det [mm]A\not=0.[/mm] Geben Sie
> (mit Begründung) alle möglichen Jordanschen Normalformen
> von A an.
> Die Jordansche Normalform hat ja auch die Größe [mm]2\times2.[/mm]
> Also können höchstens zwei Jordanblöcke der Größe 1
> auftreten, oder einer der größe 2. Im zweiten Fall kann
> "oben rechts" eine 1 oder eine 0 stehen, im ersten fall nur
> ein 0.
Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das soweit? Kann man über die Elemente auf der
> Diagonale (also die Eigenwerte) noch was genaueres sagen,
> da ich die Matrix nicht kenne? Ist das charakteristische
> Polynom noch weiter zu präzisieren?
Da kann man z.B. sagen, ob es zwei verschiedene Eigenwerte oder einen doppelten Eigenwert gibt.
Ich denke, hier sind die Matrixdarstellungen der JNF gefragt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 23.04.2008 | | Autor: | JulianTa |
Das hieße doch, dass die Lösung zur Aufgabe die drei Jordanformen
1. [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 }
[/mm]
2. [mm] \pmat{ \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_1 }
[/mm]
3. [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 }
[/mm]
wären, oder?
Begründung:
(i) Die Jordan-Form ist [mm] \in Mat(2x2,\IC)
[/mm]
(ii) Aus det A [mm] \not= [/mm] 0 und (i) [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert min. 1, max 2 Eigenwerte.
(iii) (a) Angenommen, [mm] \lambda_1 [/mm] ist alleiniger Eigenwert
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] ist doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms
(a.1.) Duale Partition ist (2)
[mm] \Rightarrow [/mm] Matrix 2.
(a.2.) Duale Partition ist (1,1)
[mm] \Rightarrow [/mm] Matrix 3.
(b) Angenommen es existieren zwei Eigenwerte [mm] \lambda_1, \lambda_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die dualen Partitionen sind [mm] P\*_{\lambda_1}=(1) [/mm] bzw. [mm] P\*_{\lambda_2}=(1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Matrix 1.
q.e.d.?
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Hallo,
das, was Du schreibst ist richtig.
Erwähnenswert ist noch, daß alle Eigenwerte von Null verschieden sind, falls Du es noch nicht getan hast, solltest Du darüber nachdenken, warum es so ist. (Die Investition lohnt sich: man braucht das immer mal wieder...)
Gruß v. Angela
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