Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kann mir hier mal wer bei helfen?? Ich verstehe ja wohl, wie man auf die Normalform kommt, und was das eigentlich ist, aber ich hab riesen Probleme mit der Primärzerlegung. Man muss ja irgendwie eine Primärzerlegung machen, damit man nachher weiß, ob man die Eigenvektoren, oder eben nicht die Eigenvektoren in die Matrix S schreibt, aus der sich dann durch S(transponiert)*A*S=M die Jordansche Normalform M ergibt. Die Normalform M zu einer Basis B, die ich halt über Vektoren bestimme, bei denen ich halt aber leider nie weiß, welche es eigentlich sein müssen??
Dankbar für jeden Hilfe!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Di 13.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Anna!
Was willst du hier genau jetzt wissen? Soll ich dir das ganze Verfahren erklären und die ganze Theorie? Das wird ein bisschen viel. 
Ich rechne es mal an einem Beispiel vor:
Wir wollen die Jordansche Normalform der reellen Matrix
[mm] $\begin{pmatrix} -3 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 5 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
berechnen.
Es gilt:
[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] \det(tE_5 [/mm] - A) = [mm] t^5 [/mm] - [mm] 6t^4 [/mm] + [mm] 14t^3 [/mm] - [mm] 16t^2 [/mm] + 9t -2 = [mm] (t-1)^4 [/mm] (t-2)$.
Also hat $A$ die Eigenwerte [mm] $t_1=2$ [/mm] und [mm] $t_2=1$. [/mm] Für die $(t-2)$-Primärkomponente gilt offenbar:
[mm] $V_1=Kern(2E_5-A)$,
[/mm]
weil $t-2$ nur in der ersten Potenz im charakteristischen Polynom vorkommt.
Wegen
[mm] $Rang(2E_5-A)=4$
[/mm]
ist
[mm] $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 2 \\3 \\ -2 \end{pmatrix}$
[/mm]
eine Basis von [mm] $V_1$.
[/mm]
Daher ist [mm] $e_{11}=1$ [/mm] der einzige Elementarteiler von $A$ zum Eigenwert [mm] $t_1=2$.
[/mm]
Für [mm] $t_2=1$ [/mm] betrachtet man zunächst die Ränge der Matrizen [mm] $(E_5-A)^j$ [/mm] mit $j [mm] \in \{1,2,3,4\}$. [/mm] Sobald sich der Rang nicht mehr erniedrigt, kann man aufhören. Es gilt:
[mm] $(E_5-A)^3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 0\\ -3 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \ne [/mm] 0$.
Wegen
[mm] $Rang((E_5 [/mm] - [mm] A)^3)=1$
[/mm]
ist die $(t-1)$-Primärkomponente [mm] $V_2 [/mm] = [mm] Kern((E_5- A)^3)$, [/mm] denn [mm] $\dim (Kern((E_5- A)^3))=4$ [/mm] ist maximal (d.h. [mm] $Kern((E_5- A)^4)$ [/mm] muss nicht mehr betrachtet werden).
Daher ist [mm] $e_{21}=3$ [/mm] der größte Elementarteiler von $A$ zum Eigenwert [mm] $t_2=1$.
[/mm]
Wegen
[mm] $Rang(E_5 [/mm] - A) = Rang [mm] \begin{pmatrix} 4 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 4 & -4 & -1 \\ 2 & 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm] = 3$
hat $A$ zum Eigenwert nur [mm] $\dim(Ker(E_5-A))=2$ [/mm] verschiedene Elementarteiler:
[mm] $e_{21} [/mm] = 3 > [mm] e_{22} [/mm] > 0$.
Wegen [mm] $\dim(V_2)=4$ [/mm] folgt: [mm] $e_{22} [/mm] = [mm] \dim(V_2) [/mm] - [mm] e_{21} [/mm] = 1$.
Es gilt:
[mm] $(E_5 [/mm] - [mm] A)^2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -3 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & -3 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Wir suchen nun einen Vektor $b$ mit $b [mm] \in Kern((E_5 [/mm] - [mm] A)^3) [/mm] = [mm] V_2$, [/mm] aber $b [mm] \notin Kern((E_5 [/mm] - [mm] A)^2)$.
[/mm]
Ein solcher Vektor ist $b = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Dann wissen wir aus der Theorie, dass $b$, [mm] $(E_5-A)b$ [/mm] und [mm] $(E_5-A)^2b$ [/mm] Bestandteile der Jordan-Basis sind.
Es gilt:
[mm] $(E_5-A)b [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $(E_5-A)^2 [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Es folgt: [mm] $(E_5-A)^2 [/mm] b [mm] \in Kern(E_5-A)$.
[/mm]
Also ist
[mm] $\left( \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right)$
[/mm]
eine Basis von [mm] $Kern(E_5 [/mm] - A)$.
Deshalb ist
[mm] $\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\right)$
[/mm]
eine Basis von [mm] $V_2$.
[/mm]
Somit haben wir unsere Jordan-Basis gebastelt.
Die zugehörigen JNF lautet:
[mm] $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Die zugehörige Transformationsmatrix $Q$ hat in den Spalten die Koordinaten der Jordan-Basis:
$ Q = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 &0 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Ist dir das Verfahren jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Julius
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ich habe auch probleme mit der berechnung der jordanschen normalform. das beispiel von dir sieht recht gut aus und ein beispiel reicht mir auch meistens, um so ein problem in den griff zu kriegen. bin gerade dabei, es nachzuvollziehen, allerdings weiß ich nun nicht so genau, wie man auf die basis von v1 kommt. vielleicht kannst du das noch mal genauer erklären?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du musst einfach das lineare Gleichungssystem
[mm] $(2E_5 [/mm] - A)x=0$
lösen, am besten mit dem Gauß-Algorithmus.
Kannst du lineare Gleichungssysteme lösen und bekommst du das hier hin?
Wenn nicht, dann melde dich noch einmal.
Liebe Grüße
Julius
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hmmm... also ein gleichungssystem kann ich wohl lösen, nur weiß ich jetzt wieder nicht weiter. ich glaube, mein problem ist, dass ich im ersten semester verpasst hab, was ein kern ist und wie man darauf kommt.
schreibe freitag ne klausur und muss das mit der jordanNF unbedingt noch rein kriegen.
hab auch schon in ner menge anderer artikel geblättert, allerdings hat mir das alles nicht so weiter geholfen.
wenn ich die eigenwerte habe, kann ich dann schon die NF bilden? wie kriege ich raus, wie viele jordan blöcke es zum jeweiligen ew gibt und wie groß die blöcke sind? das hab ich nich verstanden.
wie berechne ich dann das B, für das [mm] J=B^{-1}*A*B [/mm] ist?
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hab noch mal ein bisschen gestöbert... kanns sein, dass mir die algebraische vielfachheit angibt, wie oft mein eigenwert [mm] \lambda [/mm] in der jordanschen normalform vor kommt? und die geometrische VFH gibt mir an, in wie viele köstchen der jordanblock zum jeweiligen eigenwert zerfällt?
wenn ich also zum beispiel einen EW [mm] \lambda=2 [/mm] habe, mit der algebraischen VFH 3, dann kommt die zahl 2 in der jordanmatrix 3 mal vor. wenn die geom. VFH dann 1 ist, hätte ich also einen block mit 3 zweien und 2 einsen, ist die geom. VFH 2, dann hab ich nur eine eins...?! stimmt das so?
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Hallo Nadine!
Das mit den algebraischen Vielfachheiten stimmt auf jeden Fall.
Ich würde dir zudem gerne ein sehr einfaches Verfahren zur Bestimmung der JNF vorstellen, sobald du die algebraische Vielfachheiten der Eigenwerte (also das char. Polynom) und das Minimalpolynom einer Matrix kennst. Hierzu ein Beispiel:
Angenommen du hast die Eigenwerte 2 und 3. Das char. Polynom lautet
[mm] (x-2)^3 (x-3)^3
[/mm]
Das Minimalpolynom sei
[mm] (x-2)^2 (x-3)^1
[/mm]
Zum Eigenwert 2:
Du musst nur eine Partition bilden, deren Summe gleich der algebraischen Vielfachheit ist und deren größter Eintrag gleich dem Grad des Eigenwertes im Minimalpolynom ist. In diesem Fall ist nur eine Lösung möglich:
(2,1)
Du siehst, der größte Eintrag ist die 2 (=Grad des Eigenwerts 2 im Minimalpolynom), der auch unbedingt vorkommen muss. (1,1,1) wäre also keine Lösung. Zudem darf kein Eintrag größer sein als 2. Und die Summe aller Einträge ist 3 (=algeb. Vielfachheit).
Das gleiche machst du nun mit allen Eigenwerten, bei dem Eigenwert 3 gibt es ebenfalls nur eine Lösung, nämlich
(1,1,1)
Noch einmal:
Die Summe aller Einträge ist 3 (=alg. Vielfachheit). Der größte Eintrag ist die 1 (=Grad des Eigenwertes im Minimalpolynom), alle anderen Einträge sind entweder kleiner oder gleich groß.
Sobald du es einmal verstanden hast, ist es wirklich sehr einfach.
Damit kannst du nun die JNF angeben, welche ja eine 6x6 Matrix ist (Grad des char. Polynoms):
Die Partitionen zu den Eigenwerten sagen dir jetzt wie viele Blöcke du hast und welche Größe diese haben. Beim Eigenwert 2 hast du zum Beispiel einen Block der Größe 2 und einen der Größe 1. Beim Eigenwert 3 hast du 3 Blöcke der Größe 1. Also sieht die JNF folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
Die Transformationsmatrix kannst du damit allerdings nicht bestimmen, sondern nur die JNF angeben. Das char. Polynom musst du ja eh bestimmen, um die Eigenwerte zu erhalten. Das Minimalpolynom zu bestimmen ist auch sehr einfach. Wenn du dazu eine Frage hast, dann kann ich dir dazu auch ein sehr einfaches Verfahren vorstellen.
Ich hoffe, dir hat das hier geholfen! Wenn du noch Fragen hast, dann frage.
Gruß, Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Do 29.07.2004 | | Autor: | Solyscope |
Übrigends ist der Grad des Linearfaktors im Minimalpolynom gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes.
Gruß, Markus
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ok, verstanden hab ich das.
und was ist, wenn ich einen eigenwert [mm] \lambda=1 [/mm] habe, mit der algebraischen VFH 4 und die geometrische VFH 2? Dann müsste also mein Minimalpolynom [mm] (\lambda-1)^{2} [/mm] sein, wenn ich das richtig verstanden hab (haben Minimalpolynome nicht gehabt). und wie sehen dann die Jordan-Blöcke aus? gibt doch dann verschiedene Möglichekeiten. Entweder 2 2er Kästchen, oder ein 2er und 2 1er... is das egal? oder wie kriegt man das raus?
Auf alle Fälle schon mal vielen lieben Dank, denke, dass mir das schon sehr weiter geholfen hat bisher.
LG Nadine
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Hi Nadine!
Das mit dem Minimalpolynom stimmt so wie du das geschrieben hast. Und in deinem Beispiel, da hast du recht, gibt es zwei mögliche Partitionen. In diesem Fall hilft dir diese Methode leider nicht weiter. Du weißt zwar, dass es eine von beiden Möglichkeiten sein muss, aber nicht welche. Das musst du dann mit Hilfe eines anderen Verfahrens rausfinden (Julius hat dir ja schon eines vorgestellt).
Im Normalfall sollte sich das von mir vorgestellte Verfahren jedoch bewähren und kann sehr viel Zeit sparen, wenn nur die JNF gesucht ist, nicht jedoch die Transformationsmatrix gefragt ist.
Wenn ihr das char. Polynom schon gehabt habt ist das Minimalpolynom auch nicht mehr schwer, da es dieselben Nullstellen hat wie das char. Polynom und nur der Grad kleiner oder aber auch gleich ist. Das Minimalpolynom einer Matrix A ist das Polynom p kleinsten Grades, für das p(A) (A eingesetzt in p) noch null ist. Eine Möglichkeit zur Bestimmung des Minimalpolynoms wäre es also, den Grad des char. Polynoms schrittweise zu verringern und dann zu überprüfen, ob p(A) noch immer null ist. Das ist jedoch ziemlich rechen- und zeitintensiv. Hier eine andere Methode anhand eines Beispiels:
Sei A := [mm] \pmat{ 8 & 4 & 5 \\ -3 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 11} \varepsilon \IR^{3x3}
[/mm]
Nun nimm einfach irgendeinen Vektor aus [mm] \IR^{3}. [/mm] Einfachhalber wähle zunächst einen der Einheitsvektoren, sagen wir den ersten, also
X := [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dann berechen A*X. Das ist, weil wir ja den ersten Einheitsvektor gewählt haben, gerade die erste Spalte von A, also
AX = [mm] \vektor{8 \\ -3 \\ -2}
[/mm]
Diese beiden Vektoren sind noch linear unabhängig, also berechnen wir noch [mm] A^2 [/mm] X. Das ist dasselbe wie A*AX, also sehr einfach zu berechnen. wir haben also
[mm] A^2 [/mm] X = [mm] \pmat{ 8 & 4 & 5 \\ -3 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 11} [/mm] * [mm] \vektor{8 \\ -3 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{42 \\ -28 \\ -35}
[/mm]
Nun sind immer noch alle drei Vektoren X, AX und [mm] A^2 [/mm] X linear unabhängig (das kannst du auch, wenn du es nicht siehst ganz einfach mit dem Gauß-Algorithmus nachprüfen, den kennst du ja, oder?). Also berechnen wir noch [mm] A^3 [/mm] X:
[mm] A^3 [/mm] X = [mm] \pmat{ 8 & 4 & 5 \\ -3 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 11} [/mm] * [mm] \vektor{42 \\ -28 \\ -35} [/mm] = [mm] \vektor{49 \\ -147 \\ -441}
[/mm]
Dieser Vektor muss nun von den anderen linear abhängig sein, da drei beliebige Vektoren ja eine Basis des [mm] \IR^{3x3} [/mm] darstellen, also jeder andere Vektor als Linearkombination aus diesen drei dargestellt werden kann. Das muss man nun wohl mithilfe des Gauß-Algorithmus berechnen. Ich erhalte dann:
[mm] \pmat{ 1 & 8 & 42 & 49\\ 0 & -3 & -28 & -147 \\ 0 & -2 & -35 & -441} \to [/mm] (Gauß) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 343\\ 0 & 1 & 0 & -147 \\ 0 & 0 & 1 & 21}
[/mm]
Also kannst du den Vektor [mm] A^3 [/mm] X folgendermaßen darstellen:
[mm] A^3 [/mm] X = 343 X - 147 AX + 21 [mm] A^2 [/mm] X
Fertig!!!
Nun musst du nur noch das X in dieser Gleichung gleich 1 setzen und das A durch ein x ersetzen. Die Gleichung lautet dann:
[mm] x^3 [/mm] = 343 - 147x + [mm] 21x^2
[/mm]
Dann alles auf eine Seite bringen:
[mm] x^3 [/mm] - [mm] 21x^2 [/mm] + 147x -343 = 0
Schon hast du dein Minimalpolynom. Das musst du jetzt nur noch faktorisieren um die Eigenwerte zu erhalten. Zudem ist in diesem Fall das Minimalpolynom gleich dem char. Polynom, da das char. Polynom ja auch vom Grad 3 sein muss.
Wären X und AX schon linear abhängig, so hättest du einen weiteren Vektor Y wählen müssen, der von X und AX linear unabhängig ist. Also beispielsweise den zweiten Einheitsvektor und mit diesem genauso vorgehen. Das musst du solange machen, bis du mindestens 3 linear unabhängige Vektoren hast. Beispiel:
wäre AX = 25X, so wäre dein Polynom (x-25) = 0. Da du noch keine 3 linear unabhängigen Vektoren hast, wählst du ein Y. Angenommen, du bekommst [mm] A^2 [/mm] Y = 5AY - 4Y, also das Polynom [mm] x^2 [/mm] - 5X + 4 = 0. Das kannst du faktorisieren zu (x-1)(x-4) = 0. Jetzt hast du die drei lin. unabhängigen Vektoren X, Y und AY, bist also fertig. Das Minimalpolynom ist nun das kgV von (x-25) und (x-1)(x-4), also (x-25)(x-4)(x-1). Fertig!!!
Das Beispiel war zwar etwas schlecht aufgrund der hohen Zahlen und so, aber das habe ich auch erst hinterher gemerkt. Vielleicht hätte ich besser den zweiten Einheitsvektor als das X gewählt... Na ja, ich hoffe die Vorgehensweise wurde trotzdem deutlich. Schau es dir in Ruhe an (ist vielleicht ein bisschen viel auf einmal) und versuche es mal selber, dann wird es dir schon klar werden. Ansonsten frage.
Gruß, Markus
--- alle Angaben ohne Gewähr ---
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