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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Sebsen90 |
| Aufgabe | Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren zur Marix A und forme sie in Jordansche Normalform um.
A= [mm] \pmat{ -6 & -5 \\ 5 & 4 } [/mm] |
Hallo zusammen,
Zunächst hab ich die Eigenwerte bestimmt. Es handelt sich um einen doppelten Eigentwert.
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = -1
Als ersten EV habe ich dann
[mm] EV_1=\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
berechnet. Den zweiten Eigenvektor muss man ja jetzt erraten(falls ich mich nicht irre)...wie mache ich das nun?
Ich hatte mir einfach
[mm] EV_2=\vektor{1 \\ 0} [/mm] (Dieser erfüllt nicht [mm] A*EV_2=0, [/mm] warum muss das hier nicht gelten?)
überlegt. Nach dem Transformieren etc erhalte ich für die Jordansche Normalform
J= [mm] \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } [/mm]
Das sind die Eigenwerte -1 in der Diagonalen und eine 5 darüber (das sollte aber meines Wissens nach 1 oder 0 sein)
Mathematica gibt mir
[mm] EV_2=\vektor{1/5 \\ 0}
[/mm]
J= [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 } [/mm]
das sieht richtig aus, aber wie komme ich auf 1/5?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren zur Marix A und
> forme sie in Jordansche Normalform um.
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> A= [mm]\pmat{ -6 & -5 \\ 5 & 4 }[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> Zunächst hab ich die Eigenwerte bestimmt. Es handelt sich
> um einen doppelten Eigentwert.
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = -1
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Damit weißt Du, daß die JNF so aussieht:
[mm] J=\pmat{-1&\*\\0&-1}.
[/mm]
Ob beim Stern eine 0 oder 1 hinkommt, muß man nun noch herausfinden.
>
> Als ersten EV habe ich dann
>
> [mm]EV_1=\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> berechnet. Den zweiten Eigenvektor
gibt es nicht.
Diese Matrix hat nur einen Eigenvektor, deshalb kann es keine Diagonalmatrix sein.
Also hat man beim Sternchen die 1.
Damit ist die Aufgabe in vollem Umfang gelöst.
Den zweiten Vektor brauchst Du nur, wenn Du auch noch eine Jordanbasis [mm] (EV_1, v_2) [/mm] wissen möchtest, also eine Basis, deren Darstellungsmatrix die Jordanmatrix ist.
Damit die Matrix so aussieht, wie sie aussehen soll, muß für den zweiten Vektor der Jordanbasis gelten
[mm] A*v_2=EV_1+(-1)*v_2,
[/mm]
also
[mm] (A-(-1)E)v_2=EV_1.
[/mm]
Lösen des inhomogenen LGS liefert Dir einen passenden Vektor [mm] v_2.
[/mm]
(Durch Einsetzen kannst Du feststellen, daß es Deiner nicht tut, aber der Deiner Chefs.)
Eine andere Methode zum Finden von [mm] v_2, [/mm] welche Dir wohl vorschwebte, wäre diese:
den Eigenvektor zu einer Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ergänzen, etwa durch [mm] b_2=\vektor{1\\0}.
[/mm]
Berechne den dazu passenden Eigenvektor [mm] b_1:=(A-(-1)E)b_2=\vektor{-5\\5}.
[/mm]
[mm] (b_1, b_2) [/mm] ist eine Jordanbasis zu Deiner JNF.
Tip: google mal nach JNF_Kochrezept, da ist schön erklärt, wie es geht.
Bloß die Jordanbasis muß man in umgekehrter Reihenfolge anordnen, weil beim Rezept die Einser unter der Hauptdiagonalen stehen.
LG Angela
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> muss man ja jetzt
> erraten(falls ich mich nicht irre)...wie mache ich das
> nun?
>
> Ich hatte mir einfach
>
> [mm]EV_2=\vektor{1 \\ 0}[/mm] (Dieser erfüllt nicht [mm]A*EV_2=0,[/mm]
> warum muss das hier nicht gelten?)
>
> überlegt. Nach dem Transformieren etc erhalte ich für die
> Jordansche Normalform
>
> J= [mm]\pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> Das sind die Eigenwerte -1 in der Diagonalen und eine 5
> darüber (das sollte aber meines Wissens nach 1 oder 0
> sein)
>
>
> Mathematica gibt mir
>
> [mm]EV_2=\vektor{1/5 \\ 0}[/mm]
>
> J= [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }[/mm]
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> das sieht richtig aus, aber wie komme ich auf 1/5?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sebsen90 |
Ich habe ganz vergessen mich bei dir zu bedanken...
DU hast mir wirklich sehr geholfen und ich glaube ich habe es jetzt verstanden!
DANKE! ;)
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