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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:08 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
| Aufgabe | Wie bekommt man aus gegebenem chpol und minpol die Jordannormalform?
Bsp: [mm] chpol=(x+1)^7 minpol=(x+1)^3 [/mm] |
wie geht man da ran?
ich weiß:
chpol= gibt die Eigenwerte und somit die Elemente der Hauptdiagonalen
minpol=Für die Berechnung des minpol benutzt man die Tatsache, dass für Blockmatrix B aus Blöcken B1,B2, B3 mb=kgv(m1,m2,m3)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
was hilft mir das jetzt für die Erstellung der Marix?
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Hallo Mahomia
> Wie bekommt man aus gegebenem chpol und minpol die
> Jordannormalform?
>
> Bsp: [mm]chpol=(x+1)^7 minpol=(x+1)^3[/mm]
> wie geht man da ran?
>
Wenn man keine weiteren Informationen hat, zum Beispiel die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes, dann kann man keine eindeutige Jordannormalform (JNF) finden.
Wie du richtig erkannt hast, gibt das charakteristische Polynom die algebrarische Vielfachheit des Eigenwertes(hier [mm] \lambda [/mm] = -1)
Die Potenz im Minimalpolynom gibt die Länge des größten Jordanblocks an, also ergeben sich daraus folgende Möglichkeiten für die JNF
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 } \pmat{ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 } \pmat{ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 } \pmat{ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 }
[/mm]
(Das sind alle Möglichkeiten bis auf Permutationen der Blöcke)
Ich hoffe, das hilft dir
> ich weiß:
>
> chpol= gibt die Eigenwerte und somit die Elemente der
> Hauptdiagonalen
>
> minpol=Für die Berechnung des minpol benutzt man die
> Tatsache, dass für Blockmatrix B aus Blöcken B1,B2, B3
> mb=kgv(m1,m2,m3)
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> was hilft mir das jetzt für die Erstellung der Marix?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
danke, dass hat um einiges weitergeholfen...mehr Angaben haben wir dazu nicht bekommen. Nur halt die Aufgab bestimme mögliche Jordannormalformen.
aber eine Frage hätte ich schon...warum setzt du die 1 gerade an die Stelle?
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Hallo,
vielleicht sagst Du mal etwas genauer, über welche 1 Du gerade sprechen möchtest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
mir geh es generell um die 1 (also nicht die -1 auf der Hauptdiagonalen)
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> aber eine Frage hätte ich schon...warum setzt du die 1
> gerade an die Stelle?
Hallo,
weil die JNF halt so gemacht ist.
Es ist nunmal so, daß in der JNF auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte so oft stehen, wie ihre alg. Vielfachheit ist,
und die etwaigen Einsen auf der oberen Nebendiagonalen (mancherorten auch: unteren Nebendiagonalen).
Hier war es so, daß aufgrund des charakteristischen Polynoms klar war, daß es sich um eine [mm] 7\times [/mm] 7-Matrix handelt mit Minuseinsen auf der Hauptdiagonalen.
Nun fragt sich, auf welche Weisen dieser Block zum Eigenwert -1 in Kästchen unterteilt wird.
Dem Minimalpolynom konnte man entnehmen, daß daß größte dieser Kästchen eine Dreierkästchen ist, und hieraus ergeben sich dann die Möglichkeiten, die man hat:
Dreierkasten, Dreierkasten, Einerkasten (3,3,1)
(3,2,2)
(3,2,1,1)
(3,1,1,1,1)
Unbedingt erwähnenswert ist aber, daß die Dreierkästchen in der Dir gegebenen Antwort falsch sind! Die 1 oben rechts muß eine Null sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
achso okay..das klärt meine Frage um einiges,..., wie wäre denn die herangehesweise, wenn ich die Angaben hätte:
[mm] ch=(x+1)^4*(x-3)^3
[/mm]
[mm] m=(x+1)^2*(x-3)
[/mm]
erkennbar: wir haben eine 7x7 Matix
und anhand des Minimalpolynoms ist das gröte kästchen ein dreier Kästchen...
doch wie ermittelt man jetzt die Möglichkeiten?
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> achso okay..das klärt meine Frage um einiges,..., wie
> wäre denn die herangehesweise, wenn ich die Angaben
> hätte:
>
> [mm]ch=(x+1)^4*(x-3)^3[/mm]
> [mm]m=(x+1)^2*(x-3)[/mm]
>
> erkennbar: wir haben eine 7x7 Matix
Hallo,
ja.
Diese teilt sich auf in einen [mm] 4\times [/mm] 4-Block zum EW -1 und einen [mm] 3\times [/mm] 3-Block zum EW 3.
Dem Minimalpolynom entnehmen wir:
a.
der größte Kasten im Block zum EW -1 ist ein Zweierkasten.
Welche Möglichkeiten hast Du also zum Füllen des Blockes zum EW -1?
b.
Der größte Kastem im Block zum EW 3 ist ein Einerkasten.
Wie sieht der Block zum EW 3 also aus?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
wäre das nicht
a)
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
und für b)
bliebe doch nur die 3 alleine
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> wäre das nicht
>
> a)
> [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und
>
> [mm] \begin{pmatrix} -1 & 1 \\
0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
Du solltest etwas an der Präzision Deines Ausdruckes arbeiten.
Was genau meinst Du mit "das"?
Wir wissen aufgrund des charakteristischen Polynoms, daß der Block zum EW -1 so aussieht:
[mm] J=\pmat{-1&&0&0\\0&-1&&0\\0&0&-1&&\\0&0&0&-1}.
[/mm]
Das Minimalpolynom teilt uns mit, daß $ [mm] \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm] $ unbedingt eins der Kästchen sein muß.
Damit wissen wir
[mm] J=\pmat{\red{-1}&\red{1}&0&0\\\red{0}&\red{-1}&0&0\\0&0&-1&&\\0&0&0&-1}
[/mm]
Unten kann nun noch ein Zweierkasten hin, oder zwei Einer.
>
>
> und für b)
>
> bliebe doch nur die 3 alleine
Was meinst Du damit? Formuliere genau oder Poste die matrix, von der Du sprichst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
also die beiden Matrixen, waren die einzelnen Kästchen...
an der einen freien Stelle kann doch jetzt nur entweder die 0, oder die 1 stehen. also zwei Möglichkeiten.
und für die 3 als Eigenwert bliebe die Möglichkeit, da es ja nur einerblöcke sind
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
also insgesamt nur zwei Möglichkeiten?
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Hallo,
diese Frage solltest Du Dir jetzt doch wirklich selbst beantworten können.
Du hast herausgefunden, welche Möglichkeiten es für den -1-Block gibt und welche für den 3-Block.
Also gibt es in der Tat nur zwei Möglichkeiten für die JNF.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:27 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
war auch ehrlich gesagt, nur die halbe Frage, die mir gerade durch den Kopf schwirrte,... nur woher weiß ich wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt?
ergibt sich das aus dem Grad der Polynome?
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> war auch ehrlich gesagt, nur die halbe Frage, die mir
> gerade durch den Kopf schwirrte,... nur woher weiß ich wie
> viele Möglichkeiten es insgesamt gibt?
>
> ergibt sich das aus dem Grad der Polynome?
Hallo,
sag' mal, willst Du mich auf den Arm nehmen? (Ich bin nicht so leicht!)
Ich hab' Dir doch genau gesagt, wie Du den Polynomen zunächst die Größe der beiden Blöcke und dann ihre Aufteilung in Kästchen entnehmen kannst.
Am besten liest Du Dir alles nochmal durch.
Kannst auch mal nach " JNF Kochrezept" googeln. In dem pdf von Daniel Winkler ist schön erklärt, wie man die JNF aufstellen kann.
Mindestkenntnisse über JNFen sind natürlich erforderlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:43 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
ehm nein nicht wirklich...bin nur gerade an der nächsten Aufgabe und habe da ein Dreierkästchen zum Ew -2....und überlege gerade ob es demnach nun ein großer Dreierblock ist, oder man das halt noch aufspalten kann in drei Einerkästchen, oder einem zweier und einem einerkästchen
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Hallo,
Kannst du noch das charakteristische und das Minimalpolynom mitteilen?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
hab die Mitteilung dazu gerade erst gesehen...das wären [mm] ch=(x^2+x+1)^2(x+2)^3
[/mm]
[mm] m=(x^2+x+1)(x+2)^3
[/mm]
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Hallo!
Ich schreibe das jetzt nur auf Basis von dem, was Angela oben geschrieben hat:
> hab die Mitteilung dazu gerade erst gesehen...das wären
> [mm]ch=(x^2+x+1)^2(x+2)^3[/mm]
> [mm]m=(x^2+x+1)(x+2)^3[/mm]
Du hast also:
$ch = [mm] (x-\lambda_1)^2*(x-\lambda_2)^2*(x+2)^3$
[/mm]
$m = [mm] (x-\lambda_1)*(x-\lambda_2)*(x+2)^3$.
[/mm]
(wobei [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] irgendwelche komplexen Zahlen sind, die [mm] $x^2 [/mm] + x + 1= 0$ lösen).
Das charakteristische Polynom gibt dir immer die GRÖße des Jordan-Blocks an, das Minimal-Polynom das GRÖßTE KÄSTCHEN in einem Jordan-Block.
Also:
Eigenwert 2 hat Block der Größe 3, und das größte Kästchen muss 3 groß sein! Da gibt es nur eine Möglichkeit.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
eine weitere Frage hätte ich da aber noch...
wie sieht das bei folgenden Angaben aus?
[mm] ch=(x^3+x^2+x+1)^2*(x^2+1)
[/mm]
-> EW: x=-1, x=i, x=-i
[mm] m=(x^3+x^2+x+1)^2
[/mm]
erkennbar:
- Matrix hat die Gestalt 7x7
- für die EW ergibt das höchstens einen Zweierblock
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Hallo,
> eine weitere Frage hätte ich da aber noch...
>
> wie sieht das bei folgenden Angaben aus?
>
> [mm]ch=(x^3+x^2+x+1)^2*(x^2+1)[/mm]
>
> -> EW: x=-1, x=i, x=-i
>
> [mm]m=(x^3+x^2+x+1)^2[/mm]
>
> erkennbar:
> - Matrix hat die Gestalt 7x7
> - für die EW ergibt das höchstens einen Zweierblock
nein. siehe unten.
du solltest erstmal charakteristisches Polynom und Minimalpolynom in eine brauchbare Form bringen (faktorisieren!):
$ch = [mm] (x+1)^2*(x-i)^3*(x+i)^3.
[/mm]
$m = [mm] (x+1)^2*(x-i)^2*(x+i)^2.
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
$ch = $ [mm] (x+1)^2\cdot{}(x-i)^3\cdot{}(x+i)^3. [/mm] $
$m = $ [mm] (x+1)^2\cdot{}(x-i)^2\cdot{}(x+i)^2. [/mm] $
wie groß ist denn dann meine Matrix?
Meine Blöcke können ja jeweils höchstens die Zweierblöcke werden...
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Hallo Mahomia,
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> $ch = $ [mm](x+1)^2\cdot{}(x-i)^3\cdot{}(x+i)^3.[/mm] $
> $m = $ [mm](x+1)^2\cdot{}(x-i)^2\cdot{}(x+i)^2.[/mm] $
>
> wie groß ist denn dann meine Matrix?
>
Nach dem charakteristischen Polynom handelt es sich um eine 8x8-Matrix.
> Meine Blöcke können ja jeweils höchstens die
> Zweierblöcke werden...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Mahomia |
jetzt seh ich es gerade......aufgrund dessen, dass ich zwei Fragen zu zwei unterschiedlichen Teilaufgaben hatte, sind die Kommentare etwas durcheinnder
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