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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 15.07.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Jordansche Normalform und eine Jordnbasis für die folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -3 \\ -7 & -2 & 9 \\ -2 & -1 & 4 } [/mm] |
Zunächst habe ich jetzt versucht, das charakteristische Polynom zu bestimmen. dazu:
[mm] P_A(\lambda)=det(\lambda*E_3-A) [/mm] = det [mm] \pmat{ \lambda-3 & -1 & 3 \\ 7 & \lambda+2 & -9 \\ 2 & 1 & \lambda-4 }
[/mm]
Damit ist nach meiner Rechnung [mm] P_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda+20.
[/mm]
Aber wie kann ich das jetzt in Linarfaktoren zerlegen? ich steh da irgendwie auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Di 15.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Berechnen Sie die Jordansche Normalform und eine Jordnbasis
> für die folgende Matrix:
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -3 \\ -7 & -2 & 9 \\ -2 & -1 & 4 }[/mm]
>
> Zunächst habe ich jetzt versucht, das charakteristische
> Polynom zu bestimmen. dazu:
> [mm]P_A(\lambda)=det(\lambda*E_3-A)[/mm] = det [mm]\pmat{ \lambda-3 & -1 & 3 \\ 7 & \lambda+2 & -9 \\ 2 & 1 & \lambda-4 }[/mm]
>
> Damit ist nach meiner Rechnung
> [mm]P_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda+20.[/mm]
> Aber wie kann ich das jetzt in Linarfaktoren zerlegen? ich
> steh da irgendwie auf dem Schlauch...
möglicherweise hast du dich verrechnet.
ich habe
[mm]P_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4[/mm]
mit [mm] \lambda_1=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
Ich würde hier gern weiterfragen:
> ich habe
>
> [mm] P_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4
[/mm]
>
...das hab ich auch für [mm] P_A(\lambda) [/mm] , der erste Eigenwert (geraten ist dann [mm] \lambda [/mm] =1, die anderen beiden (Polynomdivision, dann Mitternachtsformel) sind [mm] \lambda_{2,3} [/mm] =2.
Also ist [mm] P_A(\lambda)= (\lambda -1)(\lambda -2)^{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Ich frage so dumm, weil ich neulich bei einer Aufgabe leider total daneben lag mit meinen Eigenwerten; hab mich wohl verrechnet....
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> Hallo!
Hey!
> Ich würde hier gern weiterfragen:
>
> > ich habe
> >
> > [mm]P_A(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4[/mm]
> >
> ...das hab ich auch für [mm]P_A(\lambda)[/mm] , der erste Eigenwert
> (geraten ist dann [mm]\lambda[/mm] =1, die anderen beiden
> (Polynomdivision, dann Mitternachtsformel) sind
> [mm]\lambda_{2,3}[/mm] =2.
>
> Also ist [mm]P_A(\lambda)= (\lambda -1)(\lambda -2)^{2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt!
Du kannst dich auch selbst kontrollieren. Entweder durch ausmultiplizieren oder du setzt die errechneten Eigenwerte wieder in das Ch.-Polynom ein und guckst, ob wirklich Null rauskommt, dabei müssen doppelte Nullstellen auch Nullstellen der ersten Ableitung sein.
>
> Ich frage so dumm, weil ich neulich bei einer Aufgabe
> leider total daneben lag mit meinen Eigenwerten; hab mich
> wohl verrechnet....
>
Dumme Fragen gibts nicht ;)
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Casy |
...danke!
Da sich der 1. Autor seit 8 Tagen nicht gemeldet hat, probiere ich mal, die JNF rauszukriegen....
...moment, könnte etwas dauern!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Casy |
...so, also, ich bin folgendermaßen vorgegangen: Ich taufe die gegebene Matrix A:
[mm] dim(ker(A-1E))=3-rg(A-1E)=3-rg\pmat{ 2 & 1 & -3 \\ -7 & -3 & 9 \\ -2 & -1 & 3 } [/mm] =3-2=1
dim(ker(A-2E))=3-rg(A-2E)=....=1
[mm] dim(ker(A-2E)^{2} [/mm] )=....=2 <- diesen Schritt mache ich, weil [mm] \lambda [/mm] =2 doppelt ist.
Jetzt male ich ein Young-Diagramm D:
für [mm] \lambda [/mm] =1: D= x; für [mm] \lambda [/mm] = 2: D= x x (diese Kreuzchen sollen untereinander stehen!)
Daraus ergibt sich die JNF:
[mm] JNF_{A} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
So, oder?
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> ...so, also, ich bin folgendermaßen vorgegangen: Ich taufe
> die gegebene Matrix A:
>
> [mm]dim(ker(A-1E))=3-rg(A-1E)=3-rg\pmat{ 2 & 1 & -3 \\ -7 & -3 & 9 \\ -2 & -1 & 3 }[/mm]
> =3-2=1
>
> dim(ker(A-2E))=3-rg(A-2E)=....=1
> [mm]dim(ker(A-2E)^{2}[/mm] )=....=2 <- diesen Schritt mache ich,
> weil [mm]\lambda[/mm] =2 doppelt ist.
>
> Jetzt male ich ein Young-Diagramm D:
> für [mm]\lambda[/mm] =1: D= x; für [mm]\lambda[/mm] = 2: D= x x (diese
> Kreuzchen sollen untereinander stehen!)
>
> Daraus ergibt sich die JNF:
> [mm]JNF_{A}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> So, oder?
Hallo,
Young-Diagramme kenne ich leider nicht.
Wenn aber dim (kern(A-2E)=1 ist, gibt es nur ein Jordankästchen zum EW 2.
Die JNF sieht daher so aus: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Casy |
> Wenn aber dim (kern(A-2E)=1 ist, gibt es nur ein
> Jordankästchen zum EW 2.
Aber ich dachte, wenn die "Nullstelle" (also der Eigenwert) 2 doppelt belegt ist: [mm] \lambda_{2,3} [/mm] =2, dann muss ich (A-2E) so lange um eine Potenz erhöhen, bis dim (kern(A-2E), dim [mm] (kern(A-2E)^{2} [/mm] ), dim [mm] (kern(A-2E)^{3} [/mm] ) etc. stationär wird, und es wird max = 2 (eben weil 2 "doppelt belegt" ist),
so dass ich dann , wenn bei mir dim (kern(A-2E))=1 und dim [mm] (kern(A-2E)^{2} [/mm] )=2 rauskommt, 2 Kästchen der Größe 1 zum EW 2 hab???
Was denk ich denn grad falsch?
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> > Wenn aber dim (kern(A-2E)=1 ist, gibt es nur ein
> > Jordankästchen zum EW 2.
>
> Aber ich dachte, wenn die "Nullstelle" (also der Eigenwert)
> 2 doppelt belegt ist: [mm]\lambda_{2,3}[/mm] =2, dann muss ich
> (A-2E) so lange um eine Potenz erhöhen, bis dim
> (kern(A-2E), dim [mm](kern(A-2E)^{2}[/mm] ), dim [mm](kern(A-2E)^{3}[/mm] )
> etc. stationär wird, und es wird max = 2 (eben weil 2
> "doppelt belegt" ist),
> so dass ich dann , wenn bei mir dim (kern(A-2E))=1 und dim
> [mm](kern(A-2E)^{2}[/mm] )=2 rauskommt, 2 Kästchen der Größe 1 zum
> EW 2 hab???
Hallo,
nein, Du weißt dann, daß das größte Kästchen zum EW 2 das Format 2x2 hat.
Guck Dir mal ![[]](/images/popup.gif) das an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Casy |
Ach so, in dem Link steht: "p =Länge des größten Kästchens zum EW c", wobei p die "höchste Potenz" bezeichnet, in meinem Fall 2. Der untersuchte EW ist 2=c.
Also hat das größte Kästchen zum EW 2 die Größe 2(=p); da 2 aber auf der diagonalen der JNF nur 2mal vorkommt, war das auch schon das einzige Kästchen der 2!
Hab ichs jetzt richtig verstanden?
Ich mach mich jetzt an die Jordanbasis und würd mich freuen, wenn die jemand korrigieren könnte, wenn ich sie gepostet habe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Casy |
....erstmal hab ich noch eine Frage zur Jordanform:
WELCHE REGELN gelten da nochmal in der Matrix: Kästchen zum größten EW nach unten, jeweils das größte Kästchen zu den EWen nach oben, oder?
So, ich hab mal ne Basis gemacht, weiß aber nicht, ob die so stimmt:
Die Basis heißt [mm] B=(v_{1}, v_{2}, v_{3}).
[/mm]
[mm] v_{1} \in [/mm] ker(A-1E), [mm] ker(A-1E)=span{\vektor{0 \\ 3 \\ 1} } [/mm]
--> [mm] v_{1} =\vektor{0 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{3} \in ker(A-2E)^{2} [/mm] \ ker(A-2E).
[mm] ker(A-2E)^{2} [/mm] wird aufgespannt von [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ,
ker(a-2E) wird aufgespannt von [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
also wähle ich [mm] v_{3} \in ker(A-2E)^{2} [/mm] \ ker(A-2E), [mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] berechnet sich so: [mm] (A-2E)*v_{3} =\vektor{1 \\ -4 \\ -1} =v_{2}
[/mm]
also lautet die Basis: [mm] B=(\vektor{0 \\ 3 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ).
Ist das jetzt ne Jordanbasis?
Und könntest du mir bitte mal gaaanz gründlich erklären, worauf ich bei den Basisvektoren achten muss, also: welcher muss aus welchem Kern kommen und darf nicht oder muss lin. abhängig von welchem sein....
da blick ich noch nicht so durch....
Danke schonmal!
Ach so, nich eine Frage:
Die Basiswechselmatrix P, für die gilt: [mm] P^{-1} [/mm] AP = JNF, da schreib ich einfach [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] als Matrix, oder? Oder muss ich noch irgendwas (ortho-)normieren?
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> ....erstmal hab ich noch eine Frage zur Jordanform:
> WELCHE REGELN gelten da nochmal in der Matrix: Kästchen
> zum größten EW nach unten, jeweils das größte Kästchen zu
> den EWen nach oben, oder?
>
> So, ich hab mal ne Basis gemacht, weiß aber nicht, ob die
> so stimmt:
> Die Basis heißt [mm]B=(v_{1}, v_{2}, v_{3}).[/mm]
>
> [mm]v_{1} \in[/mm] ker(A-1E), [mm]ker(A-1E)=span{\vektor{0 \\ 3 \\ 1} }[/mm]
> --> [mm]v_{1} =\vektor{0 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_{3} \in ker(A-2E)^{2}[/mm] \ ker(A-2E).
> [mm]ker(A-2E)^{2}[/mm] wird aufgespannt von [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] ,
> ker(a-2E) wird aufgespannt von [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ 1}[/mm]
>
> also wähle ich [mm]v_{3} \in ker(A-2E)^{2}[/mm] \ ker(A-2E), [mm]v_{3}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]v_{2}[/mm] berechnet sich so: [mm](A-2E)*v_{3} =\vektor{1 \\ -4 \\ -1} =v_{2}[/mm]
>
> also lautet die Basis: [mm]B=(\vektor{0 \\ 3 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ -1}[/mm]
> , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ).
>
> Ist das jetzt ne Jordanbasis?
Hallo,
das, was Du tust, sieht sinnvoll aus, jeden Schritt nachgerechnet habe ich nicht, denn Du kannst selbst prüfen, ob Du's richtig gemacht hast: stelle dieTransformationsmatrizen für die Übergänge zwischen Jordanbasis und Standardbasis auf und guck', ob wirklich die JNF herauskommt, wenn Du diese Matrizen an Deine Matrix A heranmultiplizierst.
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> Und könntest du mir bitte mal gaaanz gründlich erklären,
> worauf ich bei den Basisvektoren achten muss, also: welcher
> muss aus welchem Kern kommen und darf nicht oder muss lin.
> abhängig von welchem sein....
> da blick ich noch nicht so durch....
Im Grunde würde ich jetzt das, was im Kochrezept steht, wiederholen.
Was genau verstehst Du nicht?
Man nimmt sich einen Vektor aus dem "größten"Kern, welcher nicht im nächstniedrigen ist, und durch Multiplikation mit den "kleineren" [mm] (A-\lambda E)^k [/mm] bekommt man die erste "Gruppe" aufgereihter Basisvektoren. Dann guckt man, ob im großen Kern noch ein Vektor übrig ist, der nicht im nächstkleineren liegt. Wenn ja, macht man das nochmal.
Wenn die infrage gekommenen Vektoren des größten Kerns verbraten sind, schaut man, ob es im nächstkleineren Kern noch Vektoren gibt, die von den zuvor entstandenen "Gruppen" unabhängig sind, und macht hier dann entsprechend weiter.
Wie gesagt: in dem schönen Kochrezept ist's gut erklärt. Ich finde, richtig verstehen tut man's beim Tun. Vielleicht ist es eine gute Idee, die dort vorgerechneten Beispiele nachzuvollziehen.
Falls Du dabei bist, Dich auf eine Klausur vorzubereiten: keine Angst, riesige Jordanbasen muß man da normalerweise nicht berechnen.
Gruß v. Angela
>
> Danke schonmal!
>
> Ach so, nich eine Frage:
> Die Basiswechselmatrix P, für die gilt: [mm]P^{-1}[/mm] AP = JNF,
> da schreib ich einfach [mm](v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm] als Matrix,
> oder? Oder muss ich noch irgendwas (ortho-)normieren?
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> Ach so, in dem Link steht: "p =Länge des größten Kästchens
> zum EW c", wobei p die "höchste Potenz" bezeichnet, in
> meinem Fall 2. Der untersuchte EW ist 2=c.
>
> Also hat das größte Kästchen zum EW 2 die Größe 2(=p); da 2
> aber auf der diagonalen der JNF nur 2mal vorkommt, war das
> auch schon das einzige Kästchen der 2!
> Hab ichs jetzt richtig verstanden?
Hallo,
ja, so ist's richtig.
Gruß v. Angela
>
> Ich mach mich jetzt an die Jordanbasis und würd mich
> freuen, wenn die jemand korrigieren könnte, wenn ich sie
> gepostet habe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 24.07.2008 | | Autor: | Casy |
Sehr gut, danke für deine ausführliche Hilfe!
Ich denk, jetzt hab ich alles verstanden. Ich übe das einfach ein paarmal.
Grüße!
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