Jordanmessbare Mengen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe eine Frage zu der Definition der Jordannullmenge.
Wir haben sie in der Vorlesung folgendermaßen definiert
Eine Teilmenge B [mm] \subset \IR^{n} [/mm] heißt jordanmessbar, wenn es einen Quader [mm] Q\subset \IR^{n} [/mm] gibt mit B [mm] \subset\IQ [/mm] und 1B Riemannintegrierbar. In diesem Fall heißt [mm] \left| B \right|= \int_{Q} 1B\, [/mm] das n-dimensionale Volumen von B. B heißt n-dimensionale Jordannullmenge oder dünn, wenn
[mm] \left| B \right|=0 [/mm] gilt.
Die Funktion 1B(x)= 1, falls x [mm] \epsilon [/mm] B und 0 sonst.
Einen Satz später taucht fogener Satz auf: "Jordanmessbare Mengen sind nach Definition beschränkte Mengen.Insbesondere sind Teilmengen von Nullmengen wieder Nullmengen."
Und da ist auch meine Frage entstanden:
1) Warum sind Jordanmessbare Mengen beschränkt? (Meine Idee: Weil man einen Quader darum legen kann?)
2) Und was ich gar nicht verstehe: Wenn [mm] \left| B \right|=0 [/mm] dann muß doch [mm] B=\emptyset [/mm] sein. Und wenn das der Fall ist, wie kann ich denn dann eine Teilmenge von B finden. Die existiert doch dann gar nicht. Das Integral von der Funktion 1B kann doch auch gar nicht negativ werden.
Vielen Dank schon mal für die Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Zorba |
zu 1) Ich würde dir da zustimmen.
2) |B|=0 bedeutet nicht, dass B die leere Menge ist. Überlege dir den Unterschied zwischen NULLMENGE und LEERER MENGE.
Eine Nullmenge kann ziemlich viele Elemente enthalten, aber wenn sie z.B.jordanintegriert wird, kommt 0 als Volumen heraus.
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Hallo Zorba,
Irgendwie verstehe ich das immer noch nicht so ganz. Wenn ich eine Menge B habe und die jordanintegriere (ist jordanmessbar das gleiche wie jordanintegrieren?) , dann bilde ich doch das Integral von der Funktion 1B und die ist doch über der Menge B immer gleich eins. Also ist mein Integral doch nie Null, sondern wäre doch eigentlich immer "Länge des Intervalls oder Fläche des Intervalls usw. mal 1." Somit kann es doch dann nur Null sein, wenn keine Elemente in meiner Menge B sind.
LG Traeumerin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Zorba,
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> Irgendwie verstehe ich das immer noch nicht so ganz. Wenn
> ich eine Menge B habe und die jordanintegriere (ist
> jordanmessbar das gleiche wie jordanintegrieren?)
Jordan-integrierbar sagt man, glaube ich, nicht, nur Jordan-messbar.
> dann
> bilde ich doch das Integral von der Funktion 1B und die ist
> doch über der Menge B immer gleich eins. Also ist mein
> Integral doch nie Null, sondern wäre doch eigentlich immer
> "Länge des Intervalls oder Fläche des Intervalls usw. mal
> 1." Somit kann es doch dann nur Null sein, wenn keine
> Elemente in meiner Menge B sind.
Gegenbeispiel: Die Menge [mm][0,1]\times{0} \subset\IR^2[/mm], also eine Strecke von [mm](0,0)[/mm] nach [mm](1,0)[/mm]. Das 2-dimensionale Volumen, also die Fläche dieser Menge ist 0. Also ist es eine Jordan-Nullmenge.
Als Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist es keine Jordan-Nullmenge, den das 1-dimensionale Volumen ist die Länge der Strecke, also 1.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Traeumerin |
Vielen, vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.
Viele Grüße
Traeumerin
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