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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 30.06.2011 | | Autor: | noo |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V = [mm] K_2x2
[/mm]
der Vektorraum der
2x2Matrizen über K. Weiter definieren wir für ein invertierbares S in K_2x2
die lineare Abbildung
[mm] k_s [/mm] : V -> V, A->SAS^-1
Untersuchen Sie für die folgenden Matrizen S über K; ob S eine Jordan-Normalform besitzt
und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Basis von V , so dass die Matrix von S bezüglich
dieser in Jordan-Normalform ist
[mm] S_1 [/mm] = ([a,0],[0,b])
[mm] S_2 [/mm] = ([1,1],[0,1]) |
Ich verstehe nicht ganz, wie ich das feststellen soll ohne zu wissen, was A ist. Soll ich hier eventuell alle moeglichen A's aus V ausprobieren?d
Zudem ist mir immernoch nicht ganz klar, wann eine Normalfform existiert. Wenn das char. Polynom nicht 0 wird?
Ein Tipp, wie ich an die Aufgabe rangehen soll waere toll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei K ein Körper und V = [mm]K_{2\times 2}[/mm]
> der Vektorraum der
> 2x2Matrizen über K. Weiter definieren wir für ein
> invertierbares S in [mm] K_{2\times 2}
[/mm]
> die lineare Abbildung
> [mm]k_S[/mm] : V -> V, [mm] A->SAS^{-1}
[/mm]
>
> Untersuchen Sie für die folgenden Matrizen S über K; ob
> [mm] k_S [/mm] eine Jordan-Normalform besitzt
> und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Basis von V , so
> dass die Matrix von [mm] k_S [/mm] bezüglich
> dieser in Jordan-Normalform ist
>
> [mm]S_1[/mm] = [mm] \pmat{a&0\\0&b}
[/mm]
> [mm]S_2[/mm] = [mm] \pmat{1&0\\1&1}
[/mm]
> Ich verstehe nicht ganz, wie ich das feststellen soll ohne
> zu wissen, was A ist. Soll ich hier eventuell alle
> moeglichen A's aus V ausprobieren?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das A ist hier doch die Variable. Wenn's Dir besser gefällt, könntest Du auch X dafür schreiben.
Wir haben also [mm] k_S(A):=SAS^{-1}.
[/mm]
Auf diese Weise wird jede [mm] 2\times-Matrix [/mm] auf eine [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix abgebildet.
Um herauszufinden, ob [mm] k_S [/mm] eine JNF hat, müßtest Du mal die Darstellungsmatrix von [mm] k_S [/mm] bzgl irgendeiner Basis (hier sinnvoll: bzgl der Standardbasis des [mm] K^{2\times 2} [/mm] ) aufstellen.
Welches ist die Standardbasis des [mm] K^{2\times 2}?
[/mm]
Wie bestimmt man Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen?
> Zudem ist mir immernoch nicht ganz klar, wann eine
> Normalfform existiert.
Hier sollte Dir Deine Vorlesungsmitschrift/Skript weiterhelfen. Das Nachschlagen solcher Unklarheiten ist ein wesentliches Element des Lösungsprozesses von Aufgaben.
> Wenn das char. Polynom nicht 0
> wird?
Nein.
Die JNF existiert, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
>
> Ein Tipp, wie ich an die Aufgabe rangehen soll waere toll!
Mit diesen Hinweisen steht der Plan:
darstellungsmatrix aufstellen, charakteristisches Polynom und seine Nullstellen bestimmen, entscheiden, ob die JNF existiert.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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