Jordanblöcke < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 21.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Zu berechnen ist die Anzahl der Jordanblöcke von A.
A = [mm] \pmat{ 7 & -4 & 4 \\ 0 & 3 & 0 \\ -6 & 6 & -3 } [/mm] |
Hallo an alle,
ich habe noch nicht ganz verstanden, wie man die Jordanblöcke einer Matrix berechnet und was genau eigentlich Jordanblöcke sind!???
Deshalb würde ich die Berechnung gerne hie rim Forum zusammen mit jemandem machen :)
Da ich schon ein wenig recherchiert habe weiß ich, dass man die Eigenwerte und die algebraische Vielfachheit benötigt, somit habe ich mit einigen Berechnungen schon angefangen:
Das charakteristische Polynom ist [mm] x^{3}-7x^{2}+15x-9 [/mm] und die Eigenwerte sind 1 und der doppelte Eigenwert 3.
Ein Eigenvektor zum Eigenwert 1:
[mm] (1E_{n}-A)=\pmat{ -6 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 6 & -6 & 4 }\sim\pmat{ -6 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 }\sim\pmat{ -6 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Durch das Gleichungssystem erhalte ich Folgendes:
1) [mm] -2x_{2}=0 \Rightarrow x_{2}=0 [/mm]
2) [mm] -6x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0, [/mm] sei [mm] x_{1}=1 \Rightarrow x_{3}=-2,5
[/mm]
Somit ist ein Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2,5} [/mm] und hat die Dimension 1.
Ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:
[mm] (3E_{n}-A)=\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & -6 & 6 }\sim\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Durch das Gleichungssystem erhalte ich Folgendes:
1) [mm] -4x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0, [/mm] sei [mm] x_{1}=x_{2}=1 \Rightarrow x_{3}=0
[/mm]
Somit ist ein Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und hat die Dimension 2.
Ist soweit alles korrekt?
Könnte mir jetzt jemand ganz genau (in einfachen Worten^^) erklären, was weiterhin zutun ist? Ab hier habe ich nämlich keine Ahnung mehr 
Vielen Dank im Voraus, Paula
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Hallo paula_88,
> Zu berechnen ist die Anzahl der Jordanblöcke von A.
> A = [mm]\pmat{ 7 & -4 & 4 \\ 0 & 3 & 0 \\ -6 & 6 & -3 }[/mm]
> Hallo
> an alle,
> ich habe noch nicht ganz verstanden, wie man die
> Jordanblöcke einer Matrix berechnet und was genau
> eigentlich Jordanblöcke sind!???
>
> Deshalb würde ich die Berechnung gerne hie rim Forum
> zusammen mit jemandem machen :)
>
> Da ich schon ein wenig recherchiert habe weiß ich, dass
> man die Eigenwerte und die algebraische Vielfachheit
> benötigt, somit habe ich mit einigen Berechnungen schon
> angefangen:
>
> Das charakteristische Polynom ist [mm]x^{3}-7x^{2}+15x-9[/mm] und
> die Eigenwerte sind 1 und der doppelte Eigenwert 3.
>
> Ein Eigenvektor zum Eigenwert 1:
> [mm](1E_{n}-A)=\pmat{ -6 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 6 & -6 & 4 }\sim\pmat{ -6 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 }\sim\pmat{ -6 & 4 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Durch das Gleichungssystem erhalte ich Folgendes:
> 1) [mm]-2x_{2}=0 \Rightarrow x_{2}=0[/mm]
> 2) [mm]-6x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0,[/mm] sei [mm]x_{1}=1 \Rightarrow x_{3}=-2,5[/mm]
>
> Somit ist ein Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2,5}[/mm] und hat
> die Dimension 1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:
> [mm](3E_{n}-A)=\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & -6 & 6 }\sim\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Durch das Gleichungssystem erhalte ich Folgendes:
> 1) [mm]-4x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0,[/mm] sei [mm]x_{1}=x_{2}=1 \Rightarrow x_{3}=0[/mm]
>
> Somit ist ein Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und hat die
> Dimension 2.
>
Es gibt hier 2 Eigenvektoren, da 2 Nullzeilen vorhanden ist.
Damit ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums 2.
>
> Ist soweit alles korrekt?
> Könnte mir jetzt jemand ganz genau (in einfachen
> Worten^^) erklären, was weiterhin zutun ist? Ab hier habe
> ich nämlich keine Ahnung mehr
Addiere die Dimension der Eigenräume zu den Eigenwerten 1 bzw. 3.
Das ergibt dann die Anzahl der Jordanblöcke der Matrix A.
>
> Vielen Dank im Voraus, Paula
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 22.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
> > Ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:
> > [mm](3E_{n}-A)=\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & -6 & 6 }\sim\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Durch das Gleichungssystem erhalte ich Folgendes:
> > 1) [mm]-4x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0,[/mm] sei [mm]x_{1}=x_{2}=1 \Rightarrow x_{3}=0[/mm]
>
> >
> > Somit ist ein Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und hat die
> > Dimension 2.
> >
>
>
> Es gibt hier 2 Eigenvektoren, da 2 Nullzeilen vorhanden
> ist.
> Damit ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums 2.
>
Ist der 2. Eigenvektor: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}? [/mm] Gibt es immer 2 Eigenvektoren bei Dimension 2 oder nur bei 2 Nullzeilen?
> >
> > Ist soweit alles korrekt?
> > Könnte mir jetzt jemand ganz genau (in einfachen
> > Worten^^) erklären, was weiterhin zutun ist? Ab hier habe
> > ich nämlich keine Ahnung mehr
>
>
> Addiere die Dimension der Eigenräume zu den Eigenwerten 1
> bzw. 3.
> Das ergibt dann die Anzahl der Jordanblöcke der Matrix
> A.
>
>
Das heißt dass ich einfach 1+1 (für EW 1) und 3+2 (für EW 3) rechne und die Anzahl der Jordanblöcke somit 7?
Oder muss ich, da 3 ein doppelter Eigenwert ist [mm] 2\cdot(3+2) [/mm] rechnen und somit wäre die Anzahl=12??
>
> >
> > Vielen Dank im Voraus, Paula
>
>
> Gruss
> MathePower
Viele Grüße Paula
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Hallo paula_88,
> > > Ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:
> > > [mm](3E_{n}-A)=\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 6 & -6 & 6 }\sim\pmat{ -4 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Durch das Gleichungssystem erhalte ich Folgendes:
> > > 1) [mm]-4x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0,[/mm] sei [mm]x_{1}=x_{2}=1 \Rightarrow x_{3}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Somit ist ein Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und hat die
> > > Dimension 2.
> > >
> >
> >
> > Es gibt hier 2 Eigenvektoren, da 2 Nullzeilen vorhanden
> > ist.
> > Damit ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums 2.
> >
> Ist der 2. Eigenvektor: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}?[/mm] Gibt es immer
Ja, das ist ein 2. Eigenvektor zum Eigenwert 3.
> 2 Eigenvektoren bei Dimension 2 oder nur bei 2 Nullzeilen?
Nur wenn Du 2 Nullzeilen hast, gibt es 2 Eigenvektoren.
> > >
> > > Ist soweit alles korrekt?
> > > Könnte mir jetzt jemand ganz genau (in einfachen
> > > Worten^^) erklären, was weiterhin zutun ist? Ab hier habe
> > > ich nämlich keine Ahnung mehr
> >
> >
> > Addiere die Dimension der Eigenräume zu den Eigenwerten 1
> > bzw. 3.
> > Das ergibt dann die Anzahl der Jordanblöcke der
> Matrix
> > A.
> >
> >
> Das heißt dass ich einfach 1+1 (für EW 1) und 3+2 (für
> EW 3) rechne und die Anzahl der Jordanblöcke somit 7?
> Oder muss ich, da 3 ein doppelter Eigenwert ist [mm]2\cdot(3+2)[/mm]
> rechnen und somit wäre die Anzahl=12??
Nein.
Für den Eigenwert 1 hast Du 1 Eigenvektor, dazu gehört ein Jordanblock.
Für den Eigenwert 3 hast Du 2 Eigenvektoren, dazu gehören 2 Jordanblöcke.
Insgesamt hast Du dann 1+2=3 Jordanblöcke.
> >
> > >
> > > Vielen Dank im Voraus, Paula
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Viele Grüße Paula
Gruss
MathePower
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Soweit ist alles klar, vielen Dank für die Antworten.
Wie würde ich denn einen dieser Jordanblöcke angeben können, falls das die Frage wäre?
Wie sähen diese Blöcke aus und was genau geben sie eigentlich an?
Könnte mir evtl jemand kurz einen der drei Jordanblöcke "kreieren"? Dann weiß ich schon fürs nächste Mal wie es geht
Viele Grüße eure Paula
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Hallo paula_88,
> Soweit ist alles klar, vielen Dank für die Antworten.
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> Wie würde ich denn einen dieser Jordanblöcke angeben
> können, falls das die Frage wäre?
> Wie sähen diese Blöcke aus und was genau geben sie
> eigentlich an?
>
> Könnte mir evtl jemand kurz einen der drei Jordanblöcke
> "kreieren"? Dann weiß ich schon fürs nächste Mal wie es
> geht
Ein Jordanblock der Größe 1 ist eine 1x1-Matrix.
Ist [mm]\lambda[/mm] der Eigenwert,
dann sieht dieser Jordanblock so aus:
[mm]J\left(\lambda,1 \right)=\pmat{\lambda}[/mm]
Ein Jordanblock der Größe 2 sieht dann so aus:
[mm]J\left(\lambda,2 \right)=\pmat{\lambda & 0 \\ 1 & \lambda}[/mm]
Die Größe der Jordanblöcke bestimmst Du so wie ![[]](/images/popup.gif) hier.
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> Viele Grüße eure Paula
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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