Jordanbasis & -normalformen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Do 31.05.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Bestimme eine Jordanbasis und die zugehörige Normalform für folgende nilpotente Matrix.
$A= [mm] \pmat{ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0}$ [/mm] |
also:
[mm] e_{1} \mapsto e_{4}
[/mm]
[mm] e_{2} \mapsto [/mm] 0
[mm] e_{3} \mapsto e_{6}
[/mm]
[mm] e_{4} \mapsto e_{2}
[/mm]
[mm] e_{5} \mapsto e_{7}
[/mm]
[mm] e_{6} \mapsto e_{5}
[/mm]
[mm] e_{7} \mapsto [/mm] 0
[mm] e_{1} \mapsto e_{4} \mapsto e_{2} \mapsto [/mm] 0
[mm] e_{3} \mapsto e_{6} \mapsto e_{5} \mapsto e_{7} \mapsto [/mm] 0
Jordanbasis B:
[mm] B=(e_{3},e_{6},e_{5},e_{7},e_{1},e_{4},e_{2})
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1 \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0}
[/mm]
Es gilt: [mm] J=B^{-1}*A*B
[/mm]
Nun wie bitteschön kann ich B invertieren? Eine 7x7 Matrix? Niemals. Sogar Maple hat Probleme damit. Ist das auch anders zu lösen, damit ich meine Jordan Normalform erhalte, welche dann so aussehen wird?:
[mm] \pmat{ J_{4} & \\ ___ & & ___ \\ & J_{3} }
[/mm]
Danke für die Antwort schonmal
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Do 31.05.2012 | | Autor: | algieba |
Hallo
> Bestimme eine Jordanbasis und die zugehörige Normalform
> für folgende nilotente Matrix.
>
> A= [mm]\pmat{ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0}[/mm]
>
> also:
> [mm]e_{1} \mapsto e_{4}[/mm]
> [mm]e_{2} \mapsto[/mm] 0
> [mm]e_{3} \mapsto e_{6}[/mm]
> [mm]e_{4} \mapsto e_{2}[/mm]
> [mm]e_{5} \mapsto e_{7}[/mm]
>
> [mm]e_{6} \mapsto e_{5}[/mm]
> [mm]e_{7} \mapsto[/mm] 0
>
> [mm]e_{1} \mapsto e_{4} \mapsto e_{2} \mapsto[/mm] 0
> [mm]e_{3} \mapsto e_{6} \mapsto e_{5} \mapsto e_{7} \mapsto[/mm] 0
>
> Jordanbasis B:
>
> [mm]B=(e_{3},e_{6},e_{5},e_{7},e_{1},e_{4},e_{2})[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1 \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0}[/mm]
>
> Es gilt: [mm]J=B^{-1}*A*B[/mm]
>
> Nun wie bitteschön kann ich B invertieren? Eine 7x7
> Matrix? Niemals. Sogar Maple hat Probleme damit. Ist das
> auch anders zu lösen, damit ich meine Jordan Normalform
> erhalte, welche dann so aussehen wird?:
>
> [mm]\pmat{ J_{4} & \\ ___ & & ___ \\ & J_{3} }[/mm]
>
> Danke für die Antwort schonmal
> mfg
Du könntest versuchen diese Matrix mit der Adjunkten zu invertieren. Dazu musst du nur einige Determinanten berechnen, was bei dieser Matrix aber nicht so schwer sein dürfte. Die Formel lautet:
$ [mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\det(B)} [/mm] adj(B)$
Wie du die Adjunkte berechnest, findest du am besten in Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) hier
Für die Determinante würde ich dir das Gaußsche Eliminationsverfahren empfehlen. In deinem Fall reicht dir eine Regel:
Wenn $B$ aus $A$ entsteht indem man zwei Zeilen vertauscht dann ist [mm] $\det [/mm] B = [mm] -\det [/mm] A$
Die anderen Regeln findest du hier, aber die benötigst du hier gar nicht.
Mit dieser einen Regel musst du nun eine obere Dreiecksmatrix erhalten, dann ist die Determinante einfach das Produkt der Diagonaleinträge.
Mir fällt jetzt gerade auf, dass dann [mm] $\det [/mm] B = 0$ sein müsste (und damit wäre B nicht invertierbar), ich habe aber leider gerade keine Zeit mehr noch mehr darüber nachzudenken. Ich lasse die Frage noch offen für andere, vielleicht können die dir besser helfen. Auf jeden Fall ist es immer gut, das Verfahren mit der Adjunkten zu kennen, da man das oft anwenden kann.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo unibasel,
> Bestimme eine Jordanbasis und die zugehörige Normalform
> für folgende nilotente Matrix.
>
> A= [mm]\pmat{ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0}[/mm]
>
> also:
> [mm]e_{1} \mapsto e_{4}[/mm]
> [mm]e_{2} \mapsto[/mm] 0
> [mm]e_{3} \mapsto e_{6}[/mm]
> [mm]e_{4} \mapsto e_{2}[/mm]
> [mm]e_{5} \mapsto e_{7}[/mm]
>
> [mm]e_{6} \mapsto e_{5}[/mm]
> [mm]e_{7} \mapsto[/mm] 0
>
> [mm]e_{1} \mapsto e_{4} \mapsto e_{2} \mapsto[/mm] 0
> [mm]e_{3} \mapsto e_{6} \mapsto e_{5} \mapsto e_{7} \mapsto[/mm] 0
>
> Jordanbasis B:
>
> [mm]B=(e_{3},e_{6},e_{5},e_{7},e_{1},e_{4},e_{2})[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1 \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0}[/mm]
>
> Es gilt: [mm]J=B^{-1}*A*B[/mm]
>
> Nun wie bitteschön kann ich B invertieren? Eine 7x7
> Matrix? Niemals. Sogar Maple hat Probleme damit. Ist das
Das ist sonderbar, daß Maple damit Probleme hat,
da die Matrix B einfach zu invertieren ist.
Berechne doch mal das Matrizenprodukt von B
und ihrer Transponierten aus.
> auch anders zu lösen, damit ich meine Jordan Normalform
> erhalte, welche dann so aussehen wird?:
>
> [mm]\pmat{ J_{4} & \\ ___ & & ___ \\ & J_{3} }[/mm]
>
Nun, Du hast einen Jordanblock der Größe 3 und einen der Größe 4.
> Danke für die Antwort schonmal
> mfg
Gruss
MathePower
|
|
|
|
