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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Belleci |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis des [mm] \mathbb{R}^4, [/mm] bezüglich der die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & -4 & -8 & 0 \\ -3 & 4 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 8 & 12 & 0 }
[/mm]
Jordansche Normalform hat. |
Hallo,
ich versuche schon die ganze Zeit diese Aufgabe zu bearbeiten. Ich weiß leider nicht genau, wie ich die lösen muss.
Das char. Polynom habe ich bestimmt, das ist [mm] P_A(t)=(t-2)^4. [/mm] Das Minimalpolynom ist [mm] m_A(t)=(t-2)^2, [/mm] ob man das braucht weiß ich allerdings nicht?
Wie genau muss ich denn jetzt weiter vorgehen?
Grüße Belleci
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie eine Basis des [mm]\mathbb{R}^4,[/mm] bezüglich der
> die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 0 & -4 & -8 & 0 \\ -3 & 4 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 8 & 12 & 0 }[/mm]
>
> Jordansche Normalform hat.
> Hallo,
>
> ich versuche schon die ganze Zeit diese Aufgabe zu
> bearbeiten. Ich weiß leider nicht genau, wie ich die
> lösen muss.
>
> Das char. Polynom habe ich bestimmt, das ist
> [mm]P_A(t)=(t-2)^4.[/mm] Das Minimalpolynom ist [mm]m_A(t)=(t-2)^2,[/mm] ob
> man das braucht weiß ich allerdings nicht?
>
> Wie genau muss ich denn jetzt weiter vorgehen?
Nicht nur für Deine obige Aufgabe kann ich das
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
wärmstens empfehlen.
FRED
>
>
> Grüße Belleci
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Belleci |
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> Nicht nur für Deine obige Aufgabe kann ich das
>
> http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
>
> wärmstens empfehlen.
>
> FRED
>
>
Hallo Fred,
diese Seite hatte ich mich auch schon angesehen, aber ich habe leider schon Probleme den Kern auszurechnen.
Wenn ich (A-2I) berechne und ein bisschen umforme, dann erhalte ich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ -2 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 4 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also hätte ich
I 0=-2a-2c-d
II 0=4b+6c-d
aus I [mm] \Rightarrow [/mm] d=-2a-2c
aus II [mm] \Rightarrow [/mm] d=4b+6c
[mm] \Rightarrow [/mm] -2a-2c=4b+6c [mm] \gdw [/mm] 0=a+2b+4c
Kann ich dann einfach zwei Variabeln frei wählen? Z.B.:
a=2 ud b=1, dann folgt c=-1 ud d=-2, also
[mm] kern(A-2I)=\vektor{2 \\ 1 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
Ist das so richtig?
Hätte dann noch eine allgemeine Frage zum Kern. Entspricht die Anzahl der Vektoren im Kern immer der Potenz? Also [mm] kern(..)^3=<(.),(.),(.)> [/mm] und [mm] kern(..)^k=<\underbrace{(.),...,(.)}_{k-mal}>??
[/mm]
Grüße Belleci
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> >
> > Nicht nur für Deine obige Aufgabe kann ich das
> >
> > http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
> >
> > wärmstens empfehlen.
> >
> > FRED
> >
> >
>
>
> Hallo Fred,
>
> diese Seite hatte ich mich auch schon angesehen, aber ich
> habe leider schon Probleme den Kern auszurechnen.
Hallo,
das ist nicht gut, denn zu dem Zeitpunkt, zu welchem die JNF drankommt, wird natürlich davon ausgegangen, daß man lineare Gleichungssysteme lösen kann.
>
> Wenn ich (A-2I) berechne und ein bisschen umforme,
Du willst uns sicher sagen, daß Du (A-2I) auf Zeilenstufenform gebracht hast, um den Kern zu berechnen.
> dann
> erhalte ich folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ \red{-2} & 0 & -2 & -1 \\ 0 & \red{4} & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Richtig.
Der Rang der Matrix ist =2.
Die Dimension des Kerns ist
"Anzahl der Spalten - Rang", also =4-2=2.
Ich sage Dir jetzt, wie ich systematisch weitermache:
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen sind in der 1. und 2. Spalte. Also kann man die 3. und 4.Variable frei wählen.
Setze
d:=t
c:=s.
Aus der 2.Zeile erhält man
4b+6c-d=0, also
b=-1.5c+0.25d= -1.5s+0.25t,
aus der 1. Zeile bekommt man
-2a-2c-d=0, also
a=-c-0.5d=-s-0.5t.
Die Lösungsvektoren von (A-2I)x=0 sind von der Gestalt
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{-s-0.5t\\-1.5s+0.25t\\ s\\t}=s\vektor{-1\\-1.5\\1\\0}+t\vektor{-0.5\\0.25\\0\\1},
[/mm]
und damit ist [mm] (\vektor{-1\\-1.5\\1\\0},\vektor{-0.5\\0.25\\0\\1}) [/mm] eine basis von Kern(A-2I), also eine Basis des Eigenraumes zum Eigenvektor 2.
LG Angela
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