Jordan Zerlegung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mo 31.03.2008 | | Autor: | janina85 |
| Aufgabe | Aufgabe
Bestimmen Sie die additive und die multiplikative Jordanzerlegung von
A:= $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 } \in M_3(K) [/mm] $ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute, ich habe übermorgen meine Zwischenprüfung und wollte etwas zum Thema Jordan machen, aber irgendwie bekomme ich die Jordanzerlegung nicht auf die Reihe, ich habe mir jetzt eine Aufgabe rausgesucht, zu der ich aber leider keine Lösung habe. Ich habe schon versucht sie zu lösen, aber in der Definition für zb die additive Jordanzerlegung steht, dass die beiden Matrizen in die ich das zerlege mal genommen dasselbe ergeben müssen egal ob A*B oder B*A. Irgendwie bekomme ich das nicht hin und es wäre echt super wenn ihr mir weiterhelfen könntet. Auch allgemeine Formeln wären nicht schlecht 
Vielen Dank
Janina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mo 31.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi Janina,
A:= $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 } \in M_3(K) [/mm] $
zuerst musst du einmal deine Eigenwerte berechnen.
[mm] det(A-\lambda*E)=(2-\lambda)^2*(3-\lambda)=0\gdw\lambda_1=2 [/mm] (algebraische Vielfachheit 2) bzw. [mm] \lambda_2=3 [/mm] (algebraische Vielfachheit 1.)
E ist Einheitsmatrix.
Jetzt musst du die Eigenräume und -vektoren bestimmen:
[mm] \lambda_1=2:
[/mm]
[mm] Kern(A-2E)=kern\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 }=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\}
[/mm]
[mm] Kern((A-2E)^2)=kern\pmat{ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 }=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\}
[/mm]
[mm] \lambda_2=3:
[/mm]
[mm] Kern(A-3*E)=kern\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }=span\{\vektor{3 \\ 3 \\ 1}\}
[/mm]
[mm] S=\{\vektor{0 \\ 1 \\ 0},(A-2E)*\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{3 \\ 3 \\ 1}\}
[/mm]
[mm] S=\pmat{ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 }, [/mm] demnach [mm] S^{-1}=\pmat{ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] S^{-1}*A*S=\pmat{ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 }*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 }*\pmat{ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }=:J(ordannormalform)
[/mm]
Jetzt gilt:
J=D+N, wobei D Diagonalmatrix, N nilpotent ist. Zudem gilt:
[mm] D\cdot{N}=N*D.
[/mm]
[mm] D=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
[mm] N=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich hoffe, es hilft dir weiter.
Viel Erfolg für die Zwischenprüfung.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mo 31.03.2008 | | Autor: | janina85 |
Cool Danke...das wäre ja dann glaub ich die additive Jordan zerlegung, weißt du zufällig auch wie die multiplikative aussieht? da müsste man ja eine unipotente und eine diagonalmatrix herausbekommen...
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> weißt du zufällig auch wie die multiplikative
> aussieht? da müsste man ja eine unipotente und eine
> diagonalmatrix herausbekommen...
Hallo,
Du hast ja inzwischen eine additive Zerlegung A=D+N mit ND=DN.
Deine Matrix D ist invertierbar.
Es ist A =D+N =D (E + [mm] D^{-1}N) [/mm] =(E + [mm] D^{-1}N)D [/mm] , und mit E + [mm] D^{-1}N [/mm] ist eine unipotente Matrix gefunden, dies tut.
Gruß v. Angela
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