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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 So 18.09.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich bin gerade dabei einige Beispiele zur JNF und der Darstellungsform A = [mm] S^{-1}JS [/mm] durchzugehen. Dabei bin ich auf folgende Aufgaben gestoßen: http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
Dazu habe ich nun eine weiterführende Frage:
Angenommen bei der Aufgabe auf Seite 4 hätte ich eine (4x4)-Matrix A über [mm] \IR [/mm] und das charakteristische Polynom wäre von der Form [mm] (X-µ)^4 [/mm] mit µ ist einziger Eigenwert von A. Dann würde ich zunächst die Potenzen von (A-µ*ID) berechnen. Nehmen wir weiter an, dass der Kern von (A-µ*Id)³ ganz [mm] \IR^4 [/mm] aufspannt, wobei Ker(A-µ*Id)² = [mm] [/mm] sein soll.
Wie würde ich dann eine JNF-Basis bestimmen, wenn ich auf die gleiche Art und Weise vorgehe wie es ansonsten in der Aufgabe angewendet wurde?
Müsste ich einen Vektor [mm] \vec{x} [/mm] wählen, der [mm] \in [/mm] Ker(A-µ*Id)³ \ Ker(A-µ*Id)² ist und dann wie in der Aufgabe (A-µ*Id) * [mm] \vec{x} [/mm] und (A-µ*Id)² * [mm] \vec{x}, [/mm] wobei ich dann nur 3 Vektoren in der Basis hätte, ich aber 4 benötige? Muss ich diese 3 dann um einen vierten unabhängigen aus ergänzen und wenn ja, woher nehme ich diesen? Oder muss ich von vorne herein 2 unabhängige Vektoren aus Ker(A-µ*Id)³ \ Ker(A-µ*Id)² wählen und den obigen Vorgang wiederholen, um dann am Ende von den erhaltenen 6 Vektoren 2 zu streichen, die linear abhängig zu den restlichen sind?
Wäre lieb, wenn sich mal jemand meinem Problem annehmen könnte.
Liebe Grüße
Jasmin
Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 18.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen bei der Aufgabe auf Seite 4 hätte ich eine
> (4x4)-Matrix A über [mm]\IR[/mm] und das charakteristische Polynom
> wäre von der Form [mm](X-µ)^4[/mm] mit µ ist einziger Eigenwert von
> A. Dann würde ich zunächst die Potenzen von (A-µ*ID)
> berechnen. Nehmen wir weiter an, dass der Kern von
> (A-µ*Id)³ ganz [mm]\IR^4[/mm] aufspannt, wobei Ker(A-µ*Id)² =
> [mm][/mm] sein soll.
Die gibt's du mir mal an, die Matrix. Die existiert wohl nicht - es gibt einen Vektor mit Jordankästchen 3, dann bleibt noch ein "fehlender" EV übrig, das forciert allerdings schon [m]dim(Ker(A-µ*Id)^2)=2[/m].
> Wie würde ich dann eine JNF-Basis bestimmen, wenn ich auf
> die gleiche Art und Weise vorgehe wie es ansonsten in der
> Aufgabe angewendet wurde?
Auf genau die Weise, wie in der aufgabe angegebn .. wo ist das Problem?
> Müsste ich einen Vektor [mm]\vec{x}[/mm] wählen, der [mm]\in[/mm]
> Ker(A-µ*Id)³ \ Ker(A-µ*Id)² ist und dann wie in der Aufgabe
> (A-µ*Id) * [mm]\vec{x}[/mm] und (A-µ*Id)² * [mm]\vec{x},[/mm] wobei ich dann
> nur 3 Vektoren in der Basis hätte, ich aber 4 benötige?
Das ist ja blos der Anfang - dann muss man weitermachen, bis man eine Basis hat!
> Muss ich diese 3 dann um einen vierten unabhängigen aus
> ergänzen
Genau. Es fehlt ein EV.
> und wenn ja, woher nehme ich diesen?
Aus [m]Ker(A-\my*E)[/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 22.09.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
danke schon mal für die Antwort, auch wenn sie nicht sonderlich ausführlich war. 
Ist es denn egal, woher ich meinen vierten linear unabhängigen Vektor nehme, solange er überhaupt unabhängig zu den restlichen drei ist oder muss er unbedingt aus Ker(A-µ*Id) sein?
Gruß
Jasmin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ist es denn egal, woher ich meinen vierten linear
> unabhängigen Vektor nehme, solange er überhaupt unabhängig
> zu den restlichen drei ist oder muss er unbedingt aus
> Ker(A-µ*Id) sein?
Zweiteres - sonst kann man ja nach basiswechsel keine JNF erhalten (Logischerweise). Das ist es doch, worum es geht.
SEcki
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