Jordan Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Aileron |
| Aufgabe | Bestimmen sie die J = gAg^-1 form der Matrix
[mm]\pmat{ 3 &0 &-2 &-1 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
-4 & -3 & 1 & 4 \\
0 & 6 & 0 & -1 } [/mm] |
Die Eigenwerte diese Matrix waren jetzt nicht schwer zu bestimmen (5 und -1) jeweils algebraisch 2fach, geometrich einfache vielfachheit.
Die Eigenvektoren habe ich auch bestimmt.
So konnte ich die Jordanische Normalform bereits aufstellen
[mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 5} [/mm]
Nun komm ich leider nicht weiter.
Ich muss nun aus der Basis der Kerne der EigenRäume die Transformationsmatrizen g (und dann g^-1) bestimmen...
Ein Beispiel:
die Matrix B = (A - 5*Id) zum Eigenwert 5 ist:
[mm]\pmat{ -2 &0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-4 & -3 & -4 & 4 \\
0 & 6 & 0 & -6 }
=>
\pmat{1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
daraus folgt für mich das die Basis vom Kern (0,0,1,0) ist.
wenn ich das aber wieder in die Matrix (A - 5*Id) einsetze kommt bei mir nur murks raus, und die resultierende Matrix ist nicht invertierbar.
Habe ich was falsch verstanden?
Oder mich irgendwo verrechnet?
Vielleicht kann mir jemand den Schritt wie ich aus den EigenRäumen bzw. den Basen vom Kern der EigenRäume zu der Matrix g komme nochmal erklären... mein Prof hat es leider etwas verschluckt...
Mit freundlichen Grüßen,
Siggi
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Hallo Aileron,
> Bestimmen sie die J = gAg^-1 form der Matrix
>
> [mm]\pmat{ 3 &0 &-2 &-1 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
-4 & -3 & 1 & 4 \\
0 & 6 & 0 & -1 }[/mm]
>
> Die Eigenwerte diese Matrix waren jetzt nicht schwer zu
> bestimmen (5 und -1) jeweils algebraisch 2fach, geometrich
> einfache vielfachheit.
>
> Die Eigenvektoren habe ich auch bestimmt.
>
> So konnte ich die Jordanische Normalform bereits
> aufstellen
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>
> Nun komm ich leider nicht weiter.
> Ich muss nun aus der Basis der Kerne der EigenRäume die
> Transformationsmatrizen g (und dann g^-1) bestimmen...
>
> Ein Beispiel:
>
> die Matrix B = (A - 5*Id) zum Eigenwert 5 ist:
> [mm]\pmat{ -2 &0 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-4 & -3 & -4 & 4 \\
0 & 6 & 0 & -6 }
=>
\pmat{1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> daraus folgt für mich das die Basis vom Kern (0,0,1,0)
> ist.
> wenn ich das aber wieder in die Matrix (A - 5*Id) einsetze
> kommt bei mir nur murks raus, und die resultierende Matrix
> ist nicht invertierbar.
>
Der Eigenvektor zum Eigenwert 5 stimmt nicht.
Dieser muss so lauten: [mm]\pmat{\red{-1} \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Habe ich was falsch verstanden?
> Oder mich irgendwo verrechnet?
>
> Vielleicht kann mir jemand den Schritt wie ich aus den
> EigenRäumen bzw. den Basen vom Kern der EigenRäume zu der
> Matrix g komme nochmal erklären... mein Prof hat es leider
> etwas verschluckt...
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Siggi
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Aileron |
Der Eigenvektor zum Eigenwert 5 stimmt nicht.
Dieser muss so lauten: $ [mm] \pmat{\red{-1} \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
den Eigenvektor habe ich auch. Aber so weit ich weiß bildet man den Hauptraum aus den Bases des Kerns und nicht aus dem Eigenraum, oder habe ich das falsch verstanden?
mfg
Siggi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Aileron |
Ich denke ich habe eine Lösung gefunden.
Der trick ist wohl, das ich den gern der Matrix:
[mm]Kern ( A * \lambda Id_{n})^x [/mm] geschekt wählen muss, dann bekomme ich meine Matrix g^-1
und somit auch die Matrix g
vielen Danke für eure Mühen.
Leider weiß ich nicht, wie ich diesen Betrag auf gelöst setzen kann...
mit freundlichen Grüßen,
Siggi
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