Jordan-messbarkeit einer Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 06.08.2012 | | Autor: | FeliaD |
| Aufgabe | | Die Menge [mm] (\IQ\times\IN\times\IN)\cap [/mm] B(0,10) [mm] \subset \IR^3 [/mm] ist Jordan-messbar. |
Ich verstehe leider nicht, warum.
Die Definition, die ich habe, ist folgende:
A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] sei beschränkt. A heißt Jordan-messbar, falls [mm] \underline{vol(A)}=\overline{vol(A)}:=vol(A) [/mm] ist.
Es gilt doch, dass das Innere dieser Menge leer ist, weil ich keinen [mm] \epsilon-Ball [/mm] um einen Punkt, der in der Menge enthalten ist finden kann, der ganz in dieser Menge enthalten ist - die irrationalen Zahlen stehen dem ja im Weg. Daher gilt doch, dass das untere Volumen 0 ist.
Da die abgeschlossene Hülle dieser Menge [mm] \left[-10,10\right]\times\left[-10,10\right]\times\left[-10,10\right] [/mm] ist, ist das obere Volumen doch [mm] \not= [/mm] 0, oder?
Ich wäre Euch zutiefst dankbar wenn Ihr mir sagen könntet, wo mein Fehler ist, bzw. was ich falsch verstanden habe.
Dies ist mein erster Post und ich hoffe, alles richtig gemacht zu haben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Menge [mm](\IQ\times\IN\times\IN)\cap[/mm] B(0,10) [mm]\subset \IR^3[/mm]
> ist Jordan-messbar.
> Ich verstehe leider nicht, warum.
> Die Definition, die ich habe, ist folgende:
> A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] sei beschränkt. A heißt Jordan-messbar,
> falls [mm]\underline{vol(A)}=\overline{vol(A)}:=vol(A)[/mm] ist.
>
> Es gilt doch, dass das Innere dieser Menge leer ist, weil
> ich keinen [mm]\epsilon-Ball[/mm] um einen Punkt, der in der Menge
> enthalten ist finden kann, der ganz in dieser Menge
> enthalten ist - die irrationalen Zahlen stehen dem ja im
> Weg. Daher gilt doch, dass das untere Volumen 0 ist.
Ja
> Da die abgeschlossene Hülle dieser Menge
> [mm]\left[-10,10\right]\times\left[-10,10\right]\times\left[-10,10\right][/mm]
Das stimmt hinten und vorne nicht. Wie kommst Du darauf ?
FRED
> ist, ist das obere Volumen doch [mm]\not=[/mm] 0, oder?
> Ich wäre Euch zutiefst dankbar wenn Ihr mir sagen
> könntet, wo mein Fehler ist, bzw. was ich falsch
> verstanden habe.
>
> Dies ist mein erster Post und ich hoffe, alles richtig
> gemacht zu haben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 06.08.2012 | | Autor: | FeliaD |
Das ging ja schnell :)
Stimmt, das stimmt vorne und hinten nicht! Die abgeschlossene Hülle muss leer sein, denn [mm] \IR^3\backslash Int(\IR^3\backslash\emptyset) [/mm] = [mm] \IR^3\backslash\IR^3 [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das ging ja schnell :)
> Stimmt, das stimmt vorne und hinten nicht! Die
> abgeschlossene Hülle muss leer sein, denn [mm]\IR^3\backslash Int(\IR^3\backslash\emptyset)[/mm]
> = [mm]\IR^3\backslash\IR^3[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] richtig?
Nein. Wir setzen M:=$ [mm] (\IQ\times\IN\times\IN)\cap [/mm] $ B(0,10)
M ist nicht leer. Einverstanden ? Gut !
Die abgeschlossene Hülle von M ist eine Obermenge von M, also kann die abgeschlossene Hülle von M nicht die leere Menge sein !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 06.08.2012 | | Autor: | FeliaD |
> > Das ging ja schnell :)
> > Stimmt, das stimmt vorne und hinten nicht! Die
> > abgeschlossene Hülle muss leer sein, denn [mm]\IR^3\backslash Int(\IR^3\backslash\emptyset)[/mm]
> > = [mm]\IR^3\backslash\IR^3[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] richtig?
>
> Nein. Wir setzen M:=[mm] (\IQ\times\IN\times\IN)\cap[/mm] B(0,10)
Was ich eben geschrieben habe, ist Quatsch, sorry.
> M ist nicht leer. Einverstanden ? Gut !
>
> Die abgeschlossene Hülle von M ist eine Obermenge von M,
> also kann die abgeschlossene Hülle von M nicht die leere
> Menge sein !
Also die abgeschlossene Hülle von M ist nicht leer. Wie soll sie denn aussehen, damit das obere Volumen 0 ist?
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Das ging ja schnell :)
> > > Stimmt, das stimmt vorne und hinten nicht! Die
> > > abgeschlossene Hülle muss leer sein, denn [mm]\IR^3\backslash Int(\IR^3\backslash\emptyset)[/mm]
> > > = [mm]\IR^3\backslash\IR^3[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] richtig?
> >
> > Nein. Wir setzen M:=[mm] (\IQ\times\IN\times\IN)\cap[/mm] B(0,10)
> Was ich eben geschrieben habe, ist Quatsch, sorry.
>
> > M ist nicht leer. Einverstanden ? Gut !
> >
> > Die abgeschlossene Hülle von M ist eine Obermenge von M,
> > also kann die abgeschlossene Hülle von M nicht die leere
> > Menge sein !
> Also die abgeschlossene Hülle von M ist nicht leer. Wie
> soll sie denn aussehen, damit das obere Volumen 0 ist?
Die abgeschlossene Hülle von M ist
$ [mm] (\IR\times\IN\times\IN)\cap [/mm] $ [mm] \overline{B(0,10)}
[/mm]
Hat diese Menge innere Punkte ?
FRED
> >
> > FRED
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 06.08.2012 | | Autor: | FeliaD |
> > > > Das ging ja schnell :)
> > > > Stimmt, das stimmt vorne und hinten nicht! Die
> > > > abgeschlossene Hülle muss leer sein, denn [mm]\IR^3\backslash Int(\IR^3\backslash\emptyset)[/mm]
> > > > = [mm]\IR^3\backslash\IR^3[/mm] = [mm]\emptyset,[/mm] richtig?
> > >
> > > Nein. Wir setzen M:=[mm] (\IQ\times\IN\times\IN)\cap[/mm] B(0,10)
> > Was ich eben geschrieben habe, ist Quatsch, sorry.
> >
> > > M ist nicht leer. Einverstanden ? Gut !
> > >
> > > Die abgeschlossene Hülle von M ist eine Obermenge von M,
> > > also kann die abgeschlossene Hülle von M nicht die leere
> > > Menge sein !
> > Also die abgeschlossene Hülle von M ist nicht leer.
> Wie
> > soll sie denn aussehen, damit das obere Volumen 0 ist?
>
> Die abgeschlossene Hülle von M ist
>
> [mm](\IR\times\IN\times\IN)\cap[/mm] [mm]\overline{B(0,10)}[/mm]
>
> Hat diese Menge innere Punkte ?
Nein, denn auch hier gibt es für keinen der Punkte der Menge einen [mm] \epsilon-Ball [/mm] in der Menge (wieder wegen der irrationalen Zahlen).
Ok, und wo geht es jetzt zum oberen Volumen?
>
> FRED
>
> > >
> > > FRED
> > >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Di 07.08.2012 | | Autor: | hippias |
[...]
> >
> > Hat diese Menge innere Punkte ?
> Nein, denn auch hier gibt es für keinen der Punkte der
> Menge einen [mm]\epsilon-Ball[/mm] in der Menge (wieder wegen der
> irrationalen Zahlen).
> Ok, und wo geht es jetzt zum oberen Volumen?
> >
Kannst Du Dir die Menge bildlich vorstellen? Sie besteht aus einer endlichen Anzahl paralleler Strecken. Versuche diese in Zylinder beliebig kleinen Volumens zu stecken. Dass die Strecken unterschiedlich lang sind, ist kein Problem, denn es genuegt sich an der laengsten zu orientieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Di 07.08.2012 | | Autor: | FeliaD |
> Kannst Du Dir die Menge bildlich vorstellen? Sie besteht
> aus einer endlichen Anzahl paralleler Strecken. Versuche
> diese in Zylinder beliebig kleinen Volumens zu stecken.
> Dass die Strecken unterschiedlich lang sind, ist kein
> Problem, denn es genuegt sich an der laengsten zu
> orientieren.
Ich wähle also einen Würfel [mm] W=[0,10]\times[0,10]\times[0,10] \in \IR^3, [/mm] so dass [mm] (\IR\times\IN\times\IN)\cap\overline{B(0,10)} \subseteq [/mm] W und zerlege ihn derart, dass jedes [mm] x\in \IN [/mm] auf der [mm]x_2[/mm]- und [mm]x_3[/mm]-Ebene in genau einem Teilstück, welches parallel zur [mm]x_1[/mm]-Achse läuft, enthalten ist. Die Kantenlängen in der [mm]x_2[/mm]- und [mm]x_3[/mm]-Ebene seien [mm] \bruch{1}{n}, n\in\IN. [/mm] Also befindet sich jeder Punkt der abgeschlossenen Hülle in einem Teilwürfel des Volumens [mm] \bruch{10}{n^2}. [/mm] Diese Folge von Partitionen konvergiert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0, also ist [mm]\overline{vol}((\IQ\times\IN\times\IN)\cap B(0,10))=0[/mm].
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mi 08.08.2012 | | Autor: | hippias |
Ich finde, Du hast es Dir richtig ueberlegt. Ob es formal ausreichend ist, moechte ich nicht beurteilen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mi 08.08.2012 | | Autor: | FeliaD |
Danke Euch beiden :)
Es war ohnehin nur eine wahr-/falsch-Ankreuz-Aufgabe, so dass Formales gar nicht gefragt war.
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