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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Di 18.05.2010 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus über einem [mm] \IQ [/mm] - Vektorraum. Bestimmen Sie alle möglichen Jordan-Normalformen (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke), wenn das charakteristische Polynom [mm] h_{\phi} [/mm] und das Minimalpolynom [mm] g_{\phi} [/mm] die unten angegebene Gestalt haben.
[mm] h_{\phi}(X)=(X-7)^6
[/mm]
[mm] g_{\phi}(X)=(X-7)^3
[/mm]
Geben Sie zusätzlich für alle Möglichkeiten die Dimension der jeweiligen Eigenräume an. |
Hallo...
ich habe eine Frage zur der o.g. Aufgabenstellung.
Ich habe jetzt drei verschiedene Möglichkeiten, wie die jeweilige Jordan-Normalform aussehen könnte:
1. 1-mal 3x3 Block, 1-mal 2x2 Block und einen 1-mal 1x1 Block
dim(kern(A-7In))=3, [mm] dim(Kern((A-7In)^2)=5, dim(Kern((A-7In)^3)=dim(\IQ)=6
[/mm]
2. 1-mal 3x3 und 3-mal 1x1 Block
dim(kern(A-7In)=4 (4 wg. 4 Blöcke), [mm] dim(kern((A-7In)^3)=6 [/mm] (^3 weil der größte Block 3x3 ist)...aber wie bestimme ich die anderen dim? oder brauche ich die dim lt. Aufgabenstellung nicht bestellen? irgendwie geht das nicht auf. heißt das, die Möglichkeit existiert nicht?
3. 2-mal 3x3
dim(kern(A-7In))=2 (wg. 2 Blöcke) [mm] dim(kern((A-7In)^2)=6 [/mm] (6 wg. [mm] dim(\IQ)=6), [/mm] aber das geht doch auch nicht auf, weil ^2 nicht gehen soll, weil ^2 bedeutet doch, der größste Block könnte höchstens 2x2 groß sein, oder? heißt diese Möglichkeit geht auch nicht?
Danke, für ihre Hilfe....
lg
kiwibox
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:18 Mi 19.05.2010 | | Autor: | jack21 |
passt schon. es gibt nur die eine Möglichkeit.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 10:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> passt schon. es gibt nur die eine Möglichkeit.
Hallo,
nein, es gibt die drei zunächst von der Fragenden gefundenen Möglichkeiten.
(s. meine Antwort)
Gruß v. Angela
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> Sei [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus über einem [mm]\IQ[/mm] - Vektorraum.
> Bestimmen Sie alle möglichen Jordan-Normalformen (bis auf
> die Reihenfolge der Jordanblöcke), wenn das
> charakteristische Polynom [mm]h_{\phi}[/mm] und das Minimalpolynom
> [mm]g_{\phi}[/mm] die unten angegebene Gestalt haben.
> [mm]h_{\phi}(X)=(X-7)^6[/mm]
> [mm]g_{\phi}(X)=(X-7)^3[/mm]
> Geben Sie zusätzlich für alle Möglichkeiten die
> Dimension der jeweiligen Eigenräume an.
> Hallo...
> ich habe eine Frage zur der o.g. Aufgabenstellung.
> Ich habe jetzt drei verschiedene Möglichkeiten, wie die
> jeweilige Jordan-Normalform aussehen könnte:
Hallo,
ja, und die sind alle drei richtig.
Du sollst jeweils die JNF sagen und die Dimension des Eigenraumes, also die Dimension von Kern(A-7E).
Die hast Du jedesmal richtig angegeben.
Die Dimensionen der Haupträume anderer Stufen sind überhaupt nicht gefragt, man kann sie aber auch angeben, wenn man möchte.
Das charakteristische Polynom ist
> [mm]h_{\phi}(X)=(X-7)^6[/mm].
Es zerfällt in Linearfaktoren, die Matrix hat also eine JNF.
Wir haben eine [mm] 6\times [/mm] 6-Matrix, welche auf der Hauptdiagonalen überall die 7 stehen hat.
Das Minimalpolynom ist
> [mm]g_{\phi}(X)=(X-7)^3[/mm].
Daraus können wir wissen, daß das größte Kästchen ein [mm] 3\times [/mm] 3-Kästchen ist.
Man kommt damit genau auf die drei Möglichkeiten, die Du benennst.
Die Dimension des Eigenraumes zu 7 ist die Anzahl der Kästchen, auch das hast Du jedesmal richtig hingeschrieben.
dim Kern [mm] (A-7E)^3 [/mm] ist jedesmal =6,
fraglich bleibt höchstens noch die Dimension von dim [mm] Kern(A-7E)^2.
[/mm]
Ich mache Dir das jetzt am Fall 1 vor. Es sei [mm] B:=(b_1, [/mm] ..., [mm] b_6) [/mm] eine zugehörige Jordanbasis.
Die JNF ist
[mm] \pmat{7&1&0&0&0&0\\0&7&1&0&0&0\\0&0&7&0&0&0\\0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&7&0\\0&0&0&0&0&7}
[/mm]
[mm] b_1, b_4 [/mm] und [mm] b_6 [/mm] sind die drei linear unabhängigen Eigenvektoren, die Kern(A-7E) aufspannen.
Sie sind auch in [mm] Kern(A-7E)^2, [/mm] zusätzlich aber noch die Vektoren [mm] b_2 [/mm] und [mm] b_5. [/mm] (Rechne es nach!)
Es ist [mm] (b_1, b_2, b_4, b_5, b_6) [/mm] eine Basis von [mm] Kern(A-7E)^2, [/mm] also hat der Hauptraum 2. Stufe hier die Dimension 5,
und [mm] (b_1,...,b_6) [/mm] ist schließlich eine Basis von [mm] Kern(A-7E)^3=\IR^6.
[/mm]
> 1. 1-mal 3x3 Block, 1-mal 2x2 Block und einen 1-mal 1x1
> Block
> dim(kern(A-7In))=3, [mm]dim(Kern((A-7In)^2)=5, dim(Kern((A-7In)^3)=dim(\IQ)=6[/mm]
genau.
>
> 2. 1-mal 3x3 und 3-mal 1x1 Block
> dim(kern(A-7In)=4 (4 wg. 4 Blöcke), [mm]dim(kern((A-7In)^3)=6[/mm]
Kern (A-7E)= [mm] [/mm] , also ist die Dimension=2.
>
> 3. 2-mal 3x3
> dim(kern(A-7In))=2 (wg. 2 Blöcke)
[mm] dimKern(A-7E)^3=6,
[/mm]
[mm] dimKern(A-7E)^2=, [/mm] also ist die Dimension =4.
Gruß v. Angela
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